楕円関数・モジュラー形式の問題

テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ に対して、ヤコビの四平方定理
$$\theta (q{)}^4=1+8\sum _{n=1}^{\infty }(\sum _{d\mid n,4\nmid d}d)q^n$$
は用いてよい（内側の和は $n$ の正の約数 $d$ のうち $4$ で割り切れないものについてとる）。

正の奇数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$（順序を区別する）で
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=2028$$
を満たすものの個数を求めよ。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ とし、$0$ 以上の整数 $N$ に対して $r_8(N)$ を $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_8^2=N$ を満たす $(x_1,\dots ,x_8)\in {\mathbb{Z}}^8$ の個数とする（$\theta (q{)}^8={\sum }_{N\ge 0}{r}_8(N)q^N$）。正の整数 $N$ に対してヤコビの八平方定理
$$r_8(N)=16\sum _{d\mid N,d>0}(-1{)}^{N+d}{d}^3$$
が成り立つことは用いてよい。このとき、
$$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_8^2=360$$
を満たし、$x_1,\dots ,x_8$ がすべて奇数であるような $(x_1,\dots ,x_8)\in {\mathbb{Z}}^8$ の個数を求めよ。

整数 $k$ に対し、$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間とする。すなわち $M_k$ は、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ に対して $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ をみたし、$q=e^{2\pi i\tau }$ について $|q|<1$ で収束する展開 $f(\tau )={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(f)q^n$ をもつもの全体である。$d_k={\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k$ とおく。

次の事実は用いてよい。

• $k<0$ のとき $M_k=\{0\}$ である。
• $k\ge 0$ が偶数のとき、$k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ ならば $d_k=\lfloor k/12\rfloor$、そうでなければ $d_k=\lfloor k/12\rfloor +1$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ の元であり、この無限積は $|q|<1$ で広義一様収束して、$\mathbb{H}$ 上で $\Delta (\tau )\ne 0$ である。

偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対し
$$M_k^{(m)}=\{f\in M_k\mid a_n(f)=0(0\le n\le m-1)\}$$
とおく（$m=0$ のときは $M_k^{(0)}=M_k$）。このとき、すべての偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k^{(m)}=\max (d_k-m,0)$$
が成り立つことを証明せよ。

$\mathbb{H}$ を上半平面、$q=e^{2\pi i\tau }(\tau \in \mathbb{H})$ とする。正の整数 $n$ と整数 $r\ge 0$ に対し ${\sigma }_r(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^r$ とおく。$B_k$ をベルヌーイ数とし、$B_4=-\frac{1}{30}$、$B_{16}=-\frac{3617}{510}$ である。偶数 $k\ge 4$ に対し
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n$$
とおく。$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式の（複素）ベクトル空間とする。次の事実は用いてよい。

• 各 $f\in M_k$ は、$|q|<1$ で収束する $q$ の冪級数 ${\sum }_{n\ge 0}{c}_n{q}^n$ により $f(\tau )={\sum }_{n\ge 0}{c}_n{e}^{2\pi in\tau }$ と表され（$q$ 展開）、その係数 $c_n$ は $f$ から一意に定まる。
• 偶数 $k\ge 4$ に対し $E_k\in M_k$ であり、$f\in M_k$, $g\in M_l$ ならば $fg\in M_{k+l}$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ に属し、その $q$ 展開を $\Delta ={\sum }_{n\ge 1}t(n)q^n$ と書くと、すべての $n$ で $t(n)\in \mathbb{Z}$ であり、$t(1)=1$ である。
• ${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_{16}=2$ である。

$\Delta E_4\in M_{16}$ の $q$ 展開を $\Delta (\tau )E_4(\tau )={\sum }_{n\ge 1}a(n)q^n$ と書く。このとき、すべての正の整数 $n$ に対して
$$a(n)\equiv {\sigma }_{15}(n)(\mathrm{mod}3617)$$
が成り立つことを証明せよ。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対して、テータ関数を
$$\theta (q)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$$
と定める。$0$ 以上の整数 $N$ に対して
$$\theta (q)\theta (q^2{)}^2\theta (q^4)=\sum _{N=0}^{\infty }R(N)q^N$$
と展開する。つまり $R(N)$ は、$x^2+2y^2+2z^2+4w^2=N$ を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数である。$R(2020)$ を求めよ。

なお、ヤコビの四平方定理（$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n$ を満たす整数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の個数を $r_4(n)$ とすると、正の整数 $n$ に対して $r_4(n)=8{\sum }_{d\mid n,4\nmid d}d$）は証明なしに用いてよい。