四平方定理と条件つきの平方和の個数

$r_{4} (n) = 8 \sum_{d ∣ n, 4 ∤ d} d$ を使い、さらにテータ関数の関係（奇数の平方だけの和の母関数など）を使って、正の奇数 4 つの平方和で $n$ を表す方法の数を求められる

前提

テータ関数と二平方和（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）

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算数中学高校大学大学院

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母関数と係数の取り出し（大学数学離散数学・組合せ論）
テータ関数と二平方和（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）

説明

ヤコビの四平方定理 $r_{4} (n) = 8 \sum_{d ∣ n, 4 ∤ d} d$ は、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = n$ の整数解の個数 $r_{4} (n)$ （符号と順序を区別する）を約数の和で与えます。この技能では、これをテータ関数 $θ (q) = \sum_{m \in Z} q^{m^{2}}$ と奇数の平方だけの母関数 $θ (q) - θ (q^{4}) = \sum_{m 奇数} q^{m^{2}}$ に結びつけ、「正の奇数 4 つの平方和で $n$ を表す方法の数」のような条件つきの個数を求められるようになります。答えは、 $n = 4 k$ （ $k$ 奇数）のとき $σ (k)$ （ $k$ の正の約数の和）、それ以外のとき $0$ です。

なぜそうしてよいのか

$θ (q)^{4} = \sum_{x_{1}, \dots, x_{4} \in Z} q^{x_{1}^{2} + \dots + x_{4}^{2}}$ なので、 $q^{n}$ の係数が $r_{4} (n)$ です。ヤコビの公式 $r_{4} (n) = 8 \sum_{d ∣ n, 4 ∤ d} d$ （ $n \geq 1$ ）は二平方和の公式と同じくモジュラー形式の道具で証明されるのでここでは認めて使いますが、小さい $n$ で確かめられます。例えば $n = 4$ では $8 (1 + 2) = 24$ で、実際 $(\pm 2, 0, 0, 0)$ の並べ方 $8$ 個と $(\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1)$ の $16$ 個で $24$ 個です。

奇数だけの和を数えるには母関数を分けます。 $θ (q^{4}) = \sum_{m} q^{4 m^{2}} = \sum_{m} q^{(2 m)^{2}}$ は偶数の平方だけの和なので、 $θ (q) - θ (q^{4}) = \sum_{m 奇数} q^{m^{2}} = 2 \sum_{m \geq 1, m 奇数} q^{m^{2}}$ が奇数の平方の母関数です。よって正の奇数 4 つの平方和の表し方の数を $N (n)$ とすると、 $\sum_{n} N (n) q^{n} = \frac{1}{16} (θ (q) - θ (q^{4}))^{4}$ です（符号 $\pm$ の選び方 $2^{4} = 16$ 通りで割る）。この係数は合同式による場合分けで $r_{4}$ に帰着できます。奇数 $2 t + 1$ の平方は $4 t (t + 1) + 1$ で $t (t + 1)$ が偶数なので $8$ で割って $1$ 余り、偶数の平方は $4$ で割って $0$ 余るので、4 つとも奇数なら和は $4 (mod 8)$ です。したがって $n \neq \equiv 4 (mod 8)$ なら $N (n) = 0$ です。

$n \equiv 4 (mod 8)$ 、すなわち $n = 4 k$ （ $k$ 奇数）のとき、 $x_{1}^{2} + \dots + x_{4}^{2} = n$ の整数解で奇数の個数は $0, 1, 2, 3, 4$ 個のどれかですが、和が $4$ の倍数になるのは奇数が $0$ 個か $4$ 個のときだけです（奇数が $j$ 個なら和は $4$ で割って $j$ 余る）。奇数が $0$ 個の解は $x_{i} = 2 y_{i}$ とおけば $y_{1}^{2} + \dots + y_{4}^{2} = k$ の解と 1 対 1 なので $r_{4} (k)$ 個です。よって全部奇数の解は $r_{4} (4 k) - r_{4} (k)$ 個です。 $4 k$ の約数で $4$ で割り切れないものは $k$ の約数 $d$ とその $2$ 倍 $2 d$ なので $r_{4} (4 k) = 8 \cdot 3 σ (k) = 24 σ (k)$ 、 $k$ は奇数なので約数はどれも $4$ で割り切れず $r_{4} (k) = 8 σ (k)$ 。差は $16 σ (k)$ で、符号の $16$ 通りで割って $N (4 k) = σ (k)$ を得ます。

手順

数える対象を「符号・順序を区別した整数解の個数」と「正の解だけ」のどちらで数えるか確認し、母関数で表す: 全整数解は $θ (q)^{4}$ 、奇数だけは $(θ (q) - θ (q^{4}))^{4}$ 、正の奇数だけは $\frac{1}{16} (θ (q) - θ (q^{4}))^{4}$
$n$ を $8$ で割った余りを調べる。 $n \neq \equiv 4 (mod 8)$ なら正の奇数 4 つの平方和では表せない（個数 $0$ ）
$n = 4 k$ （ $k$ 奇数）なら、奇数の個数による場合分けから（全部奇数の解） $= r_{4} (4 k) - r_{4} (k)$ とする
$r_{4} (m) = 8 \sum_{d ∣ m, 4 ∤ d} d$ で計算する: $r_{4} (4 k) = 24 σ (k)$ , $r_{4} (k) = 8 σ (k)$
符号の選び方 $2^{4} = 16$ で割り、正の奇数 4 つの表し方の数 $σ (k)$ を得る。 $σ (k)$ は $k$ の素因数分解から約数の総和の公式で計算する

例題

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 60$ を満たす正の奇数の組 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$ の個数を求めよ（順序が異なるものは別の組として数える）。

例題の解答

【手順 1】正の奇数 4 つの平方和の表し方の数は $\frac{1}{16} (θ (q) - θ (q^{4}))^{4}$ の $q^{60}$ の係数である。

【手順 2】 $60 = 8 \cdot 7 + 4$ なので $60 \equiv 4 (mod 8)$ 。 $60 = 4 \cdot 15$ , $k = 15$ は奇数。

【手順 3】 $x_{1}^{2} + \dots + x_{4}^{2} = 60$ の整数解のうち、全部奇数のものは $r_{4} (60) - r_{4} (15)$ 個。

【手順 4】 $60$ の約数で $4$ で割り切れないものは $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ で、和は $72 = 3 σ (15)$ 。よって $r_{4} (60) = 8 \cdot 72 = 576$ 。 $15$ の約数はすべて奇数なので $r_{4} (15) = 8 (1 + 3 + 5 + 15) = 192$ 。全部奇数の解は $576 - 192 = 384$ 個。

【手順 5】符号の $16$ 通りで割って $384/16 = 24 = σ (15)$ 。

（確認: 使える奇数の平方は $1, 9, 25, 49$ で、和が $60$ になるのは ${49, 9, 1, 1}$ と ${25, 25, 9, 1}$ 。並べ方はそれぞれ $\frac{4 !}{2 !} = 12$ 通りで、合計 $24$ 通りとなり一致する。）

答え: $24$

よくある誤り

正の解だけを数えるのに $r_{4} (n)$ をそのまま使ったり、 $16$ で割るだけで済ませたりする誤り（例: $60$ の正の奇数解を $576/16 = 36$ とする）。正しくは偶数を含む解を除いて $r_{4} (60) - r_{4} (15) = 384$ 、それを符号の $2^{4} = 16$ で割って $24$
$r_{4} (n)$ の和で $4$ の倍数の約数も足してしまう誤り（例: $r_{4} (4) = 8 (1 + 2 + 4) = 56$ ）。正しくは $4 ∤ d$ の約数だけを足して $r_{4} (4) = 8 (1 + 2) = 24$
偶数の平方の母関数を $θ (q^{2})$ としてしまう誤り（ $θ (q^{2}) = \sum q^{2 m^{2}}$ は $2 m^{2}$ の和で、偶数の平方 $(2 m)^{2} = 4 m^{2}$ ではない）。正しくは偶数の平方は $θ (q^{4})$ 、奇数の平方は $θ (q) - θ (q^{4})$
$n = 4 k$ の形なら $k$ の偶奇を確かめずに公式 $σ (n /4)$ を当てはめる誤り（例: $n = 8 = 4 \cdot 2$ で $σ (2) = 3$ とする）。公式が使えるのは $k$ が奇数、つまり $n \equiv 4 (mod 8)$ のときだけである。正の奇数 4 つの平方和は必ず $8$ で割って $4$ 余るので、 $n = 8, 10, 16$ など $n \neq \equiv 4 (mod 8)$ の個数は $0$ （一方 $n = 12 \equiv 4 (mod 8)$ では $σ (3) = 4$ で、 $9 + 1 + 1 + 1$ の並べ方 $4$ 通りと一致する）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $m$ に対して $r_{4} (m) = # {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in Z^{4} ∣ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = m}$ とすると、ヤコビの四平方定理により $r_{4} (m) = 8 d ∣ m, d > 0, 4 ∤ d \sum d$ が成り立つ。これを用いて、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 60$ を満たす正の奇数の組 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$ （順序を区別する）の個数を求めよ。

四平方定理と条件つきの平方和の個数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題