楕円関数・モジュラー形式の問題

方針. $60\equiv 4(\mathrm{mod}8)$ に注目し、整数解を「4 つとも奇数」と「4 つとも偶数」に分ける。偶数の解は $r_4(15)$ 個に対応するので、奇数の解の個数は $r_4(60)-r_4(15)$ となる。最後に符号を除く。

ステップ 1: 偶奇の分類. 整数の平方を $8$ で割った余りは、奇数なら $1$、偶数なら $0$ または $4$ である。奇数の個数を $j$ とすると、和が偶数になるには $j$ は偶数。
- $j=2$: 余りは $2+(0\text{ or }4)+(0\text{ or }4)\equiv 2,6(\mathrm{mod}8)$ で、$60\equiv 4$ にならない。
- $j=4$: 余りは $4$ で条件に合う。
- $j=0$: $x_i=2y_i$ とおくと $y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=15$ となり、この解は $r_4(15)$ 個。

よって、4 つとも奇数である整数解の個数は $r_4(60)-r_4(15)$。

ステップ 2: 四平方定理で計算.
$60=2^2\cdot 3\cdot 5$ の正の約数のうち $4$ で割り切れないものは $1,2,3,5,6,10,15,30$ で、和は $72$。よって $r_4(60)=8\cdot 72=576$。
$15$ の約数 $1,3,5,15$ はどれも $4$ で割り切れず、和は $24$。よって $r_4(15)=8\cdot 24=192$。

したがって 4 つとも奇数の整数解は $576-192=384$ 個。

ステップ 3: 正の解に直す. 各 $x_i$ は $0$ でないので、符号の付け方は $2^4=16$ 通りあり、正の奇数の解 1 つに整数解が 16 個対応する。よって
$$\frac{384}{16}=24.$$

（確認: $60=49+9+1+1$ の並べ方が $\frac{4!}{2!}=12$ 通り、$60=25+25+9+1$ の並べ方が $\frac{4!}{2!}=12$ 通りで、計 $24$ 通り。）

したがって答えは $24$ である。

$r_4(60)$ を求める。60 の正の約数のうち 4 で割り切れないものは $1,2,3,5,6,10,15,30$ で、和は $72$。よって $r_4(60)=8\cdot 72=576$。

整数解を、奇数の個数で分類する。奇数の平方は $1(\mathrm{mod}8)$、偶数の平方は $0$ または $4(\mathrm{mod}8)$ であり、$60\equiv 4(\mathrm{mod}8)$ かつ $60\equiv 0(\mathrm{mod}4)$。奇数が $j$ 個あると和は $j(\mathrm{mod}4)$ なので $j\equiv 0(\mathrm{mod}4)$、すなわち $j=0$ または $4$。

• $j=0$（すべて偶数）: $x_i=2y_i$ とおくと $y_1^2+\cdots +y_4^2=15$。この個数は $r_4(15)=8(1+3+5+15)=192$。
• $j=4$（すべて奇数）: $576-192=384$ 個。

すべて奇数の整数解は各成分の符号が自由なので、正の奇数の組の個数は $384/2^4=24$。

確かめ: 奇数の平方 $1,9,25,49$ で和が 60 になる組合せを直接調べると、$\{49,9,1,1\}$（並べ方 $4!/2!=12$ 通り）と $\{25,25,9,1\}$（並べ方 $4!/2!=12$ 通り）だけで、合計 $24$ で一致する。