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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

$∣ q ∣ < 1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $θ (q) = \sum_{m \in Z} q^{m^{2}}$ とする。正の整数 $n$ に対し、 $d_{1} (n)$ , $d_{3} (n)$ をそれぞれ $n$ の正の約数のうち $4$ で割って $1$ 余るもの、 $3$ 余るものの個数とすると、 $θ (q)^{2} = 1 + 4 n = 1 \sum \infty (d_{1} (n) - d_{3} (n)) q^{n}$ が成り立つ。これを用いて、 $x^{2} + y^{2} = 450$ を満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

この問題で使うもの

テータ関数と二平方和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「テータ関数と二平方和」を使います。 $θ (q)^{2}$ の $q^{450}$ の係数が、求める個数になります。

ヒント 2

$r_{2} (n) = 4 (d_{1} (n) - d_{3} (n))$ です。 $450 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ と素因数分解し、奇数の約数 $3^{a} 5^{b}$ が $4$ で割って何余るかを調べましょう。

ヒント 3

$3^{a} 5^{b} \equiv (- 1)^{a} (mod 4)$ なので、 $a$ が偶数の約数は $1$ 余り、 $a$ が奇数の約数は $3$ 余ります。それぞれの個数を数えて $d_{1} - d_{3}$ を求めます。

答えと解説

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12

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解説を読む

方針. $θ (q)^{2} = \sum_{x, y \in Z} q^{x^{2} + y^{2}}$ なので、 $q^{n}$ の係数は $x^{2} + y^{2} = n$ の整数解の個数 $r_{2} (n)$ に等しい。与えられた等式の係数を比べて $r_{2} (450) = 4 (d_{1} (450) - d_{3} (450))$ を計算する。

ステップ 1: 係数の意味.
$θ (q)^{2} = (x \in Z \sum q^{x^{2}}) (y \in Z \sum q^{y^{2}}) = n \geq 0 \sum r_{2} (n) q^{n}$
だから、 $n \geq 1$ で $r_{2} (n) = 4 (d_{1} (n) - d_{3} (n))$ 。

ステップ 2: 素因数分解. $450 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ 。偶数の約数は $4$ で割った余りが $1$ にも $3$ にもならないので、奇数の約数、すなわち $225 = 3^{2} \cdot 5^{2}$ の約数 $3^{a} 5^{b}$ （ $0 \leq a \leq 2$ , $0 \leq b \leq 2$ ）だけを調べればよい。

ステップ 3: 余りで分類. $5 \equiv 1 (mod 4)$ , $3 \equiv - 1 (mod 4)$ より $3^{a} 5^{b} \equiv (- 1)^{a} (mod 4)$ 。
- $a = 0, 2$ （各 $b$ に $3$ 通り、計 $6$ 個）: $4$ で割って $1$ 余る
- $a = 1$ （ $3$ 個: $3, 15, 75$ ）: $4$ で割って $3$ 余る

よって $d_{1} (450) = 6$ , $d_{3} (450) = 3$ 。

ステップ 4: 結論.
$r_{2} (450) = 4 (6 - 3) = 12.$

（確認: $450 = 3^{2} + 2 1^{2} = 1 5^{2} + 1 5^{2}$ で、 $(\pm 3, \pm 21)$ , $(\pm 21, \pm 3)$ の $8$ 組と $(\pm 15, \pm 15)$ の $4$ 組、計 $12$ 組。）

したがって答えは $12$ である。

別解

$θ (q)^{2} = \sum_{x, y} q^{x^{2} + y^{2}}$ なので、 $q^{450}$ の係数が求める個数 $r_{2} (450)$ であり、与式より $r_{2} (450) = 4 (d_{1} (450) - d_{3} (450))$ 。

$450 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ 。4 で割った余りが 1 か 3 になるのは奇数の約数だけなので、奇数の約数 $1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225$ を調べる。
- 4 で割って 1 余る: $1, 5, 9, 25, 45, 225$ の 6 個（ $d_{1} = 6$ ）
- 4 で割って 3 余る: $3, 15, 75$ の 3 個（ $d_{3} = 3$ ）

よって $r_{2} (450) = 4 (6 - 3) = 12$ 。

確かめ: 別の方法として、 $450 = 1 5^{2} + 1 5^{2} = 2 1^{2} + 3^{2} = \dots$ を調べる。 $x^{2} + y^{2} = 450$ の非負解は $(15, 15)$ , $(21, 3)$ , $(3, 21)$ 。 $(15, 15)$ は符号 4 通り、 $(21, 3)$ と $(3, 21)$ はそれぞれ符号 4 通りなので $4 + 4 + 4 = 12$ で一致する。（ $x^{2} + y^{2} = 450$ で $x = 9, y^{2} = 369$ 、 $x = 12, y^{2} = 306$ などは平方数でない。）

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