楕円関数・モジュラー形式の問題

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。$q$ を形式的な変数とし、形式的べき級数
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n$$
を考える。これらはラマヌジャンの微分方程式
$$q\frac{d{E}_2}{dq}=\frac{E_2^2-E_4}{12}$$
をみたす（この事実は証明なしに用いてよい）。このとき
$$S=\sum _{m=1}^{19}{\sigma }_1(m){\sigma }_1(20-m)$$
の値を求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、正の整数 $n$ と整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。アイゼンシュタイン級数を
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n$$
で定め、判別式 $\Delta$ とラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$ を
$$\Delta =\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
で定める。$\tau (2)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とおき、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
を考える。重さ $14$ の正則モジュラー形式の空間 $M_{14}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ が $1$ 次元であることを用いて、
$$\sum _{m=1}^3{\sigma }_3(m){\sigma }_9(4-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と表される。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とし、${\sigma }_r(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^r$ とする。アイゼンシュタイン級数と判別式を
$$E_4=1+240\sum _{n\ge 1}{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n\ge 1}{\sigma }_5(n)q^n,\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}$$
で定めると、$E_4^3-E_6^2=1728\Delta$ が成り立つ。関数
$$f(\tau )=\frac{E_6(\tau {)}^2}{\Delta (\tau )}$$
を $q$ のローラン級数 $f={\sum }_{n\ge -1}{c}_n{q}^n$ で表したとき、定数項 $c_0$ を求めよ。