E₂ とラマヌジャンの微分方程式

$q \frac{d E _{2}}{d q} = \frac{E _{2}^{2} - E _{4}}{12}$ の両辺の係数を比べて、 $\sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{1} (n - m) = \frac{5 σ _{3} ( n ) + ( 1 - 6 n ) σ _{1} ( n )}{12}$ を導き、具体的な $n$ で値を求められる

前提

アイゼンシュタイン級数の q 展開（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）

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算数中学高校大学大学院

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アイゼンシュタイン級数の q 展開（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）

説明

重さ 2 のアイゼンシュタイン級数 $E_{2} = 1 - 24 \sum_{n \geq 1} σ_{1} (n) q^{n}$ が満たすラマヌジャンの微分方程式 $q \frac{d E _{2}}{d q} = \frac{E _{2}^{2} - E _{4}}{12}$ を使い、両辺の $q^{n}$ の係数を比べることで、約数和の畳み込み $\sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{1} (n - m)$ を $σ_{1} (n)$ と $σ_{3} (n)$ だけで表す公式を導けるようになります。直接足すと $n - 1$ 項の和が必要な量が、約数和 2 つで計算できます。モジュラー形式の恒等式から数論的な恒等式を取り出す典型的な手法です。

なぜそうしてよいのか

$E_{2}$ はモジュラー形式ではない. $E_{k}$ の公式で $k = 2$ とすると $B_{2} = \frac{1}{6}$ より $E_{2} = 1 - 24 \sum σ_{1} (n) q^{n}$ ですが、これは重さ 2 の変換則を少しだけ破り、 $γ = (a c b d) \in SL_{2} (Z)$ に対して
$E_{2} (γ τ) = (c τ + d)^{2} E_{2} (τ) + \frac{12 c}{2 π i} (c τ + d)$
となります（これは事実として受け入れます）。 $D = \frac{1}{2 π i} \frac{d}{d τ}$ とおくと、 $q = e^{2 π i τ}$ より $\frac{d q}{d τ} = 2 π i q$ なので、合成関数の微分で $D = q \frac{d}{d q}$ です。

余分な項の打ち消し. $\frac{d ( γ τ )}{d τ} = (c τ + d)^{- 2}$ に注意して上の変換式を $τ$ で微分し、両辺に $\frac{1}{2 π i} (c τ + d)^{2}$ を掛けると
$(D E_{2}) (γ τ) = (c τ + d)^{4} D E_{2} (τ) + \frac{2 c}{2 π i} (c τ + d)^{3} E_{2} (τ) + \frac{12 c ^{2}}{( 2 π i ) ^{2}} (c τ + d)^{2}$
を得ます。一方、変換式を 2 乗して $12$ で割ると
$\frac{E _{2} ( γ τ ) ^{2}}{12} = (c τ + d)^{4} \frac{E _{2} ( τ ) ^{2}}{12} + \frac{2 c}{2 π i} (c τ + d)^{3} E_{2} (τ) + \frac{12 c ^{2}}{( 2 π i ) ^{2}} (c τ + d)^{2}$
です。2 式の余分な項（第 2 項・第 3 項）はまったく同じなので、引き算すると $g = D E_{2} - \frac{1}{12} E_{2}^{2}$ は
$g (γ τ) = (c τ + d)^{4} g (τ)$
をみたします。 $g$ は上半平面で正則で、 $q$ の負べきを含まないべき級数で書けるので $\infty$ でも正則です。よって $g$ は重さ 4 のレベル 1 のモジュラー形式です。

$E_{4}$ と比べる. ここで「 $E_{4} = 1 + 240 \sum σ_{3} (n) q^{n}$ はレベル 1・重さ 4 のモジュラー形式で、重さ 4 のレベル 1 のモジュラー形式の空間 $M_{4}$ は 1 次元（ $E_{4}$ の定数倍しかない）」という事実を用います。 $g$ の定数項は、 $D E_{2}$ の定数項が $0$ （定数は微分で消える）、 $\frac{1}{12} E_{2}^{2}$ の定数項が $\frac{1}{12}$ なので $0 - \frac{1}{12} = - \frac{1}{12}$ です。したがって $g = - \frac{1}{12} E_{4}$ 、つまり $D E_{2} = \frac{E _{2}^{2} - E _{4}}{12}$ です。（確認: $q^{1}$ の係数は、 $D E_{2}$ が $- 24$ 、 $\frac{1}{12} E_{2}^{2}$ が $\frac{- 48}{12} = - 4$ なので $g$ は $- 24 + 4 = - 20$ 、 $- \frac{1}{12} E_{4}$ は $- \frac{240}{12} = - 20$ で一致します。）

係数比較. 両辺を $q$ のべき級数として展開すれば、同じ関数なので $q^{n}$ の係数が一致します。左辺では $q \frac{d}{d q} q^{n} = n q^{n}$ により係数は $- 24 n σ_{1} (n)$ 。右辺の $E_{2}^{2}$ の $q^{n}$ 係数（ $n \geq 1$ ）は、 $1$ と $- 24 σ_{1} (n) q^{n}$ の交差項 2 つと、 $1 \leq m \leq n - 1$ の畳み込みから $- 48 σ_{1} (n) + 576 \sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{1} (n - m)$ です。これを等置して整理すると畳み込みの公式が出ます。

手順

各級数を書く: $E_{2} = 1 - 24 \sum_{n \geq 1} σ_{1} (n) q^{n}$ , $E_{4} = 1 + 240 \sum_{n \geq 1} σ_{3} (n) q^{n}$ 。
左辺 $q \frac{d E _{2}}{d q}$ の $q^{n}$ の係数を求める: $- 24 n σ_{1} (n)$ 。
$E_{2}^{2}$ の $q^{n}$ の係数（ $n \geq 1$ ）を、定数項との交差項と畳み込みに分けて書く: $- 48 σ_{1} (n) + 576 \sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{1} (n - m)$ 。
右辺 $\frac{E _{2}^{2} - E _{4}}{12}$ の $q^{n}$ の係数と左辺を等置し、畳み込みについて解く: $\sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{1} (n - m) = \frac{5 σ _{3} ( n ) + ( 1 - 6 n ) σ _{1} ( n )}{12}$ 。
与えられた $n$ について $σ_{1} (n)$ , $σ_{3} (n)$ を素因数分解から計算し、公式に代入する。

例題

$σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n} d^{k}$ とする。 $m = 1 \sum 5 σ_{1} (m) σ_{1} (6 - m)$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $E_{2} = 1 - 24 \sum σ_{1} (n) q^{n}$ , $E_{4} = 1 + 240 \sum σ_{3} (n) q^{n}$ 。

手順 2: 左辺の $q^{n}$ の係数は $- 24 n σ_{1} (n)$ 。

手順 3: $S_{n} = \sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{1} (n - m)$ とおくと、 $E_{2}^{2}$ の $q^{n}$ の係数は $- 48 σ_{1} (n) + 576 S_{n}$ 。

手順 4: 右辺の係数は $\frac{- 48 σ _{1} ( n ) + 576 S _{n} - 240 σ _{3} ( n )}{12} = - 4 σ_{1} (n) + 48 S_{n} - 20 σ_{3} (n)$ 。左辺と等置して
$- 24 n σ_{1} (n) = - 4 σ_{1} (n) + 48 S_{n} - 20 σ_{3} (n)$
より $S_{n} = \frac{5 σ _{3} ( n ) + ( 1 - 6 n ) σ _{1} ( n )}{12}$ 。

手順 5: $n = 6 = 2 \cdot 3$ なので $σ_{1} (6) = (1 + 2) (1 + 3) = 12$ , $σ_{3} (6) = (1 + 8) (1 + 27) = 252$ 。代入して
$S_{6} = \frac{5 \cdot 252 + ( 1 - 36 ) \cdot 12}{12} = \frac{1260 - 420}{12} = 70$
となる。

（検算: $σ_{1} (1), \dots, σ_{1} (5)$ は $1, 3, 4, 7, 6$ なので、 $1 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 4 + 7 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 70$ 。）

よって答えは $70$ 。

答え: $70$

よくある誤り

$q \frac{d}{d q}$ が係数に $n$ を掛けることを忘れ、左辺の $q^{n}$ の係数を $- 24 σ_{1} (n)$ としてしまう誤り。正しくは $q \frac{d}{d q} q^{n} = n q^{n}$ なので $- 24 n σ_{1} (n)$ 。これを落とすと公式の $(1 - 6 n)$ が出てこない。
$E_{2}^{2}$ の係数で、定数項 $1$ との交差項を 1 回しか数えず $- 24 σ_{1} (n)$ としたり、交差項を畳み込みに混ぜて $\sum_{m = 0}^{n}$ としてしまう誤り。正しくは $(1 + A)^{2} = 1 + 2 A + A^{2}$ の $2 A$ から $- 48 σ_{1} (n)$ が出て、 $A^{2}$ の部分が $576 \sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{1} (n - m)$ （ $m = 0, n$ は含まない）。
符号や係数を取り違え、 $E_{2} = 1 + 24 \sum σ_{1} (n) q^{n}$ や $E_{4} = 1 - 240 \sum σ_{3} (n) q^{n}$ としてしまう誤り。 $- \frac{2 k}{B _{k}}$ に $B_{2} = \frac{1}{6}$ , $B_{4} = - \frac{1}{30}$ を入れると、正しくは $E_{2}$ が $- 24$ 、 $E_{4}$ が $+ 240$ 。
$E_{2}$ を重さ 2 のモジュラー形式とみなし、 $D E_{2}$ が重さ 4 のモジュラー形式だから $D E_{2} = c E_{4}$ としてしまう誤り。 $E_{2}$ は変換則に余分な項 $\frac{12 c}{2 π i} (c τ + d)$ をもつので $D E_{2}$ 単独はモジュラーでなく（実際 $D E_{2}$ の定数項は $0$ なのに $q^{1}$ の係数は $- 24 \neq = 0$ で、 $E_{4}$ の定数倍ではありえない）、正しくは $D E_{2} - \frac{1}{12} E_{2}^{2}$ が重さ 4 のモジュラー形式で $- \frac{1}{12} E_{4}$ に等しい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n, d > 0} d^{k}$ とする。 $q$ を形式的な変数とし、形式的べき級数
$E_{2} = 1 - 24 n = 1 \sum \infty σ_{1} (n) q^{n}, E_{4} = 1 + 240 n = 1 \sum \infty σ_{3} (n) q^{n}$
を考える。これらはラマヌジャンの微分方程式
$q \frac{d E _{2}}{d q} = \frac{E _{2}^{2} - E _{4}}{12}$
を満たす。この等式を用いて、 $E_{2}^{2}$ の $q^{5}$ の係数を求めよ。

E₂ とラマヌジャンの微分方程式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題