楕円関数・モジュラー形式の問題

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。$q$ を形式的な変数とし、形式的べき級数
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n$$
を考える。これらはラマヌジャンの微分方程式
$$q\frac{d{E}_2}{dq}=\frac{E_2^2-E_4}{12}$$
を満たす。この等式を用いて、$E_2^2$ の $q^5$ の係数を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6,10$ の正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi iz}$（$z$ は上半平面の点）を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と展開される。モジュラー形式の理論を用いて、
$$T=\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とし、
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n$$
とおく。$E_4,E_6$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6$ の正則モジュラー形式であり、$E_2$ はモジュラー形式ではない。$D=q\frac{d}{dq}=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{d\tau }$ とし、重さ $k$ の正則モジュラー形式 $f$ に対して ${\vartheta }_{k}f=Df-\frac{k}{12}{E}_{2}f$ は重さ $k+2$ の正則モジュラー形式になること（セールの微分）、および ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $6$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上の線形空間は $1$ 次元であることを用いてよい。

このとき
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_1(m){\sigma }_3(12-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と表される。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数 $$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$ はそれぞれ重さ $4,6,10$ のモジュラー形式である（$q=e^{2\pi i\tau }$）。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、$$\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$ の値を求めよ。