楕円関数・モジュラー形式の問題

$q$ を $|q|<1$ を満たす複素数とし、テータ関数を $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ とする。正の整数 $n$ に対して、$n$ の正の約数のうち $4$ で割って $1$ 余るものの個数を $d_1(n)$、$4$ で割って $3$ 余るものの個数を $d_3(n)$ とすると、ヤコビの二平方定理
$$\theta (q{)}^2=1+4\sum _{n=1}^{\infty }(d_1(n)-d_3(n))q^n$$
が成り立つ。

これを用いて、$x^2+y^2=5850$ を満たす整数の組 $(x,y)$ の個数を求めよ。ただし、符号や順序が異なる組は別のものとして数える。

$|q|<1$ をみたす複素数 $q$ に対し、
$$\theta (q)=\sum _{x\in \mathbb{Z}}{q}^{x^2},\psi (q)=\sum _{x=0}^{\infty }{q}^{x(x+1)/2}$$
とおく。正の整数 $N$ に対し $r_4(N)$ を、$y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=N$ をみたす整数の組 $(y_1,y_2,y_3,y_4)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とし（符号や順序が異なる組は区別する）、$\sigma (N)$ を $N$ の正の約数の和とする。このとき $\theta (q{)}^4=1+{\sum }_{N\ge 1}{r}_4(N)q^N$ である。

次の事実（ヤコビの四平方定理）は用いてよい: すべての正の整数 $N$ に対して
$$r_4(N)=8\sum _{\begin{array}{c}d\mid N,d>0\\ 4\nmid d\end{array}}d.$$

このとき、$|q|<1$ において
$$\psi (q{)}^4=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma (2n+1)q^n$$
が成り立つこと、すなわち、すべての非負整数 $n$ について、$\frac{x_1(x_1+1)}{2}+\frac{x_2(x_2+1)}{2}+\frac{x_3(x_3+1)}{2}+\frac{x_4(x_4+1)}{2}=n$ をみたす非負整数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の個数が $\sigma (2n+1)$ に等しいことを証明せよ。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ とし、$0$ 以上の整数 $N$ に対して $r_8(N)$ を $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_8^2=N$ を満たす $(x_1,\dots ,x_8)\in {\mathbb{Z}}^8$ の個数とする（$\theta (q{)}^8={\sum }_{N\ge 0}{r}_8(N)q^N$）。正の整数 $N$ に対してヤコビの八平方定理
$$r_8(N)=16\sum _{d\mid N,d>0}(-1{)}^{N+d}{d}^3$$
が成り立つことは用いてよい。このとき、
$$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_8^2=360$$
を満たし、$x_1,\dots ,x_8$ がすべて奇数であるような $(x_1,\dots ,x_8)\in {\mathbb{Z}}^8$ の個数を求めよ。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $\theta (q)={\sum }_{m\in \mathbb{Z}}{q}^{m^2}$ とする。正の整数 $n$ に対し、$d_1(n)$, $d_3(n)$ をそれぞれ $n$ の正の約数のうち $4$ で割って $1$ 余るもの、$3$ 余るものの個数とすると、$$\theta (q{)}^2=1+4\sum _{n=1}^{\infty }(d_1(n)-d_3(n))q^n$$ が成り立つ。これを用いて、$x^2+y^2=450$ を満たす整数の組 $(x,y)$ の個数を求めよ。

正の整数 $m$ に対して、$m$ を $4$ つの整数の平方の和として表す表し方の個数を
$$r_4(m)=\#\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{Z}}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m\}$$
とする（符号や順序が異なるものは別に数える）。テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ についてのヤコビの四平方定理
$$r_4(m)=8\sum _{d\mid m,d>0,4\nmid d}d$$
は用いてよい。

$0$ 以上の整数 $k$ に対して $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$（三角数）とする。$0$ 以上の整数の順序のついた組 $(a,b,c,d)$ で
$$T_a+T_b+T_c+T_d=22$$
を満たすものの個数を求めよ。