楕円関数・モジュラー形式の問題

三角数の和を奇数の平方の和に直す. $8T_k+1=4k^2+4k+1=(2k+1{)}^2$ であるから、$T_a+T_b+T_c+T_d=n$ は
$$(2a+1{)}^2+(2b+1{)}^2+(2c+1{)}^2+(2d+1{)}^2=8n+4$$
と同値である。奇数 $x$ と組 $(\text{符号},k\ge 0)$ は $x=\pm (2k+1)$ により一対一に対応するので、
$$\#\{(a,b,c,d)\}=\frac{1}{16}\#\{(x_1,\dots ,x_4)\in {\mathbb{Z}}^4\mid x_i\text{ はすべて奇数},\sum x_i^2=8n+4\}.$$
ここで $n=22$ とすると $8n+4=180=4\cdot 45$ である。

$180=\sum x_i^2$ の解の分類. 平方数を $8$ で割った余りは、奇数なら $1$、偶数なら $0$ または $4$ である。和が $180\equiv 4(\mathrm{mod}8)$ となるのは
- $4$ つとも奇数（$1+1+1+1=4$）
- $4$ つとも偶数

の場合だけである。実際、奇数が $1$ 個または $3$ 個なら和は奇数、$2$ 個なら和 $\equiv 2+(0\text{ または }4\text{ または }8)\equiv 2,6(\mathrm{mod}8)$ となり不適。

四平方定理で数える. $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ の正の約数のうち $4$ で割り切れないものは、$45$ の約数 $e$ とその $2$ 倍 $2e$ である。$\sigma (45)=1+3+5+9+15+45=78$ より
$$r_4(180)=8(78+2\cdot 78)=8\cdot 234=1872.$$
すべて偶数の解は $x_i=2y_i$ として $\sum y_i^2=45$ の解と一対一に対応する。$45$ は奇数なので $4$ で割り切れる約数はなく
$$r_4(45)=8\cdot 78=624.$$
よってすべて奇数の解の個数は $1872-624=1248$ であり、求める個数は
$$\frac{1248}{16}=78.$$

（一般に同じ議論で、$T_a+T_b+T_c+T_d=n$ の解の個数は $\sigma (2n+1)$ に等しいことがわかる。$n=22$ では $\sigma (45)=78$。）

$T_a+T_b+T_c+T_d=22$ の両辺を 8 倍して 4 を足すと $\sum (2a+1{)}^2=8\cdot 22+4=180$ （$8T_k+1=(2k+1{)}^2$）。$a,b,c,d\ge 0$ と正の奇数 $x_i=2a+1$ は 1 対 1 に対応するので、求める個数は $x_1^2+\cdots +x_4^2=180$ を満たす正の奇数の組の個数で、符号を考えて全奇数の整数解の個数 $O$ の $1/16$ である。
$r_4(180)$ を数える。$180\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ なので平方和が 4 の倍数になる組は、すべて偶数かすべて奇数に限る（奇数が 1 個または 3 個だと平方和は奇数、2 個だと $2\mathrm{mod}4$）。
すべて偶数: $x_i=2y_i$ で $y_1^2+\cdots +y_4^2=45$、個数 $r_4(45)=8\sigma (45)=8\cdot (1+3+9)(1+5)\cdot$（$45=3^2\cdot 5$ より $\sigma (45)=13\cdot 6=78$）$=624$（45 は奇数なので $4\nmid d$ は常に成立）。
$r_4(180)=8{\sum }_{d\mid 180,4\nmid d}d$。$180=4\cdot 45$ で、$4\nmid d$ の約数は $d=d^{\prime }$ か $2d^{\prime }$（$d^{\prime }\mid 45$）なので和は $3\sigma (45)=234$、$r_4(180)=1872$。
すべて奇数の個数は $O=1872-624=1248$。
求める個数は $1248/16=78$。
検算: 四つの三角数の和の表し方は $\sigma (2n+1)$ で与えられ、$n=22$ で $\sigma (45)=78$。小さい $n$ では $n=1$: $\sigma (3)=4$, $n=2$: $\sigma (5)=6$ と一致する。