楕円関数・モジュラー形式の問題

整数 $k$ に対し、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則なカスプ形式全体のなす複素ベクトル空間を $S_k=S_k({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ とする。$$N=\sum _{j=1}^{30}{\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{2j}=\dim S_2+\dim S_4+\cdots +\dim S_{60}$$ の値を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とする。$f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $6$ のモジュラー形式とする。すなわち $f$ は $\mathbb{H}$ 上正則で、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ と $\tau \in \mathbb{H}$ に対して $$f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{6}f(\tau )$$ を満たし、尖点 $i\infty$ でも正則であるとする。$f(2i)=3$ であるとき、$f\left(\frac{i}{2}\right)$ の値を求めよ（$i$ は虚数単位）。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数の $q$ 展開
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_8=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_7(n)q^n$$
を用いる。重さ $8$ の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関するモジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^5{\sigma }_3(m){\sigma }_3(6-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とし、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の尖点形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

${\Gamma }_0(N)$ の指数を $\mu =[{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}):{\Gamma }_0(N)]$、位数 $2$ の楕円点の個数を ${\nu }_2$、位数 $3$ の楕円点の個数を ${\nu }_3$、尖点の個数を ${\nu }_{\infty }$ とすると、モジュラー曲線 $X_0(N)$ の種数は
$$g=1+\frac{\mu }{12}-\frac{{\nu }_2}{4}-\frac{{\nu }_3}{3}-\frac{{\nu }_{\infty }}{2}$$
であり、偶数 $k\ge 4$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_k({\Gamma }_0(N))=(k-1)(g-1)+\left(\frac{k}{2}-1\right){\nu }_{\infty }+\lfloor \frac{k}{4}\rfloor {\nu }_2+\lfloor \frac{k}{3}\rfloor {\nu }_3$$
が成り立つ。これらを用いて ${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_8({\Gamma }_0(7))$ を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とおき、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
を考える。重さ $14$ の正則モジュラー形式の空間 $M_{14}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ が $1$ 次元であることを用いて、
$$\sum _{m=1}^3{\sigma }_3(m){\sigma }_9(4-m)$$
の値を求めよ。