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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

整数 $k$ に対し、 $SL_{2} (Z)$ に関する重さ $k$ の正則なカスプ形式全体のなす複素ベクトル空間を $S_{k} = S_{k} (SL_{2} (Z))$ とする。 $N = j = 1 \sum 30 dim_{C} S_{2 j} = dim S_{2} + dim S_{4} + \dots + dim S_{60}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

レベル 1 のモジュラー形式の空間の次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$SL_{2} (Z)$ のモジュラー形式の環は $C [E_{4}, E_{6}]$ であり、 $dim M_{k}$ は $4 a + 6 b = k$ の非負整数解の個数になる。カスプ形式については $S_{k} = Δ \cdot M_{k - 12}$ （ $k \geq 12$ ）、または $M_{k} = C E_{k} \oplus S_{k}$ （ $k \geq 4$ ）を使う。

ヒント 2

偶数 $k$ について $dim M_{k} = ⌊ k /12 ⌋$ （ $k \equiv 2 mod 12$ ）、 $⌊ k /12 ⌋ + 1$ （それ以外）。 $k \geq 4$ では $dim S_{k} = dim M_{k} - 1$ 、 $S_{2} = 0$ 。

ヒント 3

重さを $12$ ずつに区切ると、 $k = 12 m, 12 m + 2, \dots, 12 m + 10$ での $dim S_{k}$ は $m, m - 1, m, m, m, m$ （ $m \geq 1$ ）、 $k \leq 10$ ではすべて $0$ となる。

答えと解説

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61

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解説を読む

次元公式. 重さ $k$ の正則モジュラー形式の空間を $M_{k}$ とする。 $M_{*} = ⨁_{k} M_{k} = C [E_{4}, E_{6}]$ （ $E_{4}, E_{6}$ は代数的に独立）なので、偶数 $k \geq 0$ について $dim M_{k}$ は $4 a + 6 b = k$ を満たす非負整数の組 $(a, b)$ の個数に等しい。これを計算すると
$dim M_{k} = ⎩ ⎨ ⎧ ⌊ \frac{k}{12} ⌋ ⌊ \frac{k}{12} ⌋ + 1 (k \equiv 2 (mod 12)) (k \equiv 0, 4, 6, 8, 10 (mod 12))$
となる（たとえば $k = 2$ では解なし、 $k = 12$ では $(3, 0), (0, 2)$ の 2 組）。

また $k \geq 4$ では $M_{k} = C E_{k} \oplus S_{k}$ （定数項をとる写像 $M_{k} \to C$ は $E_{k}$ で全射になり、その核が $S_{k}$ ）なので $dim S_{k} = dim M_{k} - 1$ 。 $k = 2$ では $M_{2} = 0$ より $S_{2} = 0$ 。

各重さでの値. $k = 12 m + r$ （ $r \in {0, 2, 4, 6, 8, 10}$ ）と書くと、 $k \geq 4$ のとき
$dim S_{k} = {m - 1 m (r = 2) (r = 0, 4, 6, 8, 10)$
ただし $k = 12 m$ の場合は $dim S_{12 m} = m$ である。 $k = 2, 4, \dots, 60$ を 12 ずつのまとまりに分けて表にする。
- $k = 2, 4, 6, 8, 10$ : $0, 0, 0, 0, 0$ （ $k = 2$ は $0$ 、 $k = 4, \dots, 10$ は $dim M_{k} = 1$ ）
- $k = 12, 14, 16, 18, 20, 22$ : $1, 0, 1, 1, 1, 1$ （和 $5$ ）
- $k = 24, 26, 28, 30, 32, 34$ : $2, 1, 2, 2, 2, 2$ （和 $11$ ）
- $k = 36, 38, 40, 42, 44, 46$ : $3, 2, 3, 3, 3, 3$ （和 $17$ ）
- $k = 48, 50, 52, 54, 56, 58$ : $4, 3, 4, 4, 4, 4$ （和 $23$ ）
- $k = 60$ : $5$

合計.
$N = 0 + 5 + 11 + 17 + 23 + 5 = 61.$

（確認: $dim S_{12} = 1$ （ $Δ$ ）、 $dim S_{14} = 0$ 、 $dim S_{24} = 2$ （ $Δ E_{12}$ の類と $Δ^{2}$ など、 $Δ \cdot M_{12}$ で $dim M_{12} = 2$ ）であり、一般に $S_{k} = Δ \cdot M_{k - 12}$ から $dim S_{k} = dim M_{k - 12}$ ( $k \geq 12$ ) とも一致する。）

答えは $61$ 。

別解

重さ $k$ （偶数, $k \geq 0$ ）の $SL_{2} (Z)$ の正則モジュラー形式の空間 $M_{k}$ の次元は
$dim M_{k} = {⌊ k /12 ⌋ ⌊ k /12 ⌋ + 1 (k \equiv 2 (mod 12)) (それ以外)$
であり、 $k \geq 4$ ではアイゼンシュタイン級数 $E_{k}$ により $M_{k} = C E_{k} \oplus S_{k}$ なので $dim S_{k} = dim M_{k} - 1$ 。また $S_{2} = 0$ 。

よって偶数 $k \geq 4$ に対し
$dim S_{k} = {⌊ k /12 ⌋ - 1 ⌊ k /12 ⌋ (k \equiv 2 (mod 12)) (それ以外)$

各重さで計算する:
- $k = 2, 4, 6, 8, 10$ : すべて $0$
- $k = 12, 14, 16, 18, 20, 22$ : $1, 0, 1, 1, 1, 1$ （和 $5$ ）
- $k = 24, 26, \dots, 34$ : $2, 1, 2, 2, 2, 2$ （和 $11$ ）
- $k = 36, 38, \dots, 46$ : $3, 2, 3, 3, 3, 3$ （和 $17$ ）
- $k = 48, 50, \dots, 58$ : $4, 3, 4, 4, 4, 4$ （和 $23$ ）
- $k = 60$ : $5$

合計 $N = 0 + 5 + 11 + 17 + 23 + 5 = 61$ 。

検算: $S_{12} = C Δ$ , $S_{24}$ は 2 次元（ $Δ E_{12}$ 相当, $Δ^{2}$ ）、 $S_{26} = Δ E_{14}$ のみで 1 次元、 $S_{60}$ は $Δ^{j} E_{60 - 12 j}$ ( $j = 1, \dots, 5$ ) で 5 次元となり、表と一致する。

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