楕円関数・モジュラー形式の問題

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。${\Gamma }_0(13)$ に関する重さ $6$ の正則な尖点形式（カスプ形式）全体のなす複素ベクトル空間 $S_6({\Gamma }_0(13))$ の次元を求めよ。ただし、指標（ネベンタイプ）は自明なものとする。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。正の偶数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の（自明な指標をもつ）正則カスプ形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

$S_{12}({\Gamma }_0(13))$ の部分空間 $S_{12}^{\mathrm{old}}({\Gamma }_0(13))$ を、$f\in S_{12}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ を動かしたときの関数 $f(\tau )$ と $f(13\tau )$ 全体で張られる部分空間と定め、そのペテルソン内積に関する直交補空間を新形式の空間 $S_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ とする。

${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ を求めよ。

$2$ は $13$ を法とする原始根である。$13$ を法とするディリクレ指標 ${\chi }_a,{\chi }_b$ を
$${\chi }_a(2)=i,{\chi }_b(2)=e^{\pi i/6}$$
で定める（$i$ は虚数単位）。$13$ を法とするディリクレ指標 $\chi$ と整数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(13),\chi )$ を、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ であって、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\Gamma }_0(13)$ に対して
$$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=\chi (d)(cz+d{)}^{k}f(z)$$
を満たし、すべてのカスプで正則かつ $0$ に消えるもの（指標 $\chi$ 付きの重さ $k$ のカスプ形式）全体のなす複素ベクトル空間とする。ここで ${\Gamma }_0(13)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}13)\right\}$ である。

$$\left({\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_a),{\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_b)\right)$$
をこの順に組で求めよ。

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とし、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の尖点形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

${\Gamma }_0(N)$ の指数を $\mu =[{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}):{\Gamma }_0(N)]$、位数 $2$ の楕円点の個数を ${\nu }_2$、位数 $3$ の楕円点の個数を ${\nu }_3$、尖点の個数を ${\nu }_{\infty }$ とすると、モジュラー曲線 $X_0(N)$ の種数は
$$g=1+\frac{\mu }{12}-\frac{{\nu }_2}{4}-\frac{{\nu }_3}{3}-\frac{{\nu }_{\infty }}{2}$$
であり、偶数 $k\ge 4$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_k({\Gamma }_0(N))=(k-1)(g-1)+\left(\frac{k}{2}-1\right){\nu }_{\infty }+\lfloor \frac{k}{4}\rfloor {\nu }_2+\lfloor \frac{k}{3}\rfloor {\nu }_3$$
が成り立つ。これらを用いて ${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_8({\Gamma }_0(7))$ を求めよ。

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。${\Gamma }_0(N)$ は ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}\cup \{\infty \}$ に一次分数変換 $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ で作用し、この作用による軌道を ${\Gamma }_0(N)$ の尖点という。${\Gamma }_0(18)$ の尖点の個数を求めよ。