Γ₀(N) の指数・尖点・楕円点

$[SL_{2} (Z) : Γ_{0} (N)] = N \prod_{p ∣ N} (1 + \frac{1}{p})$ 、尖点の個数 $\sum_{d ∣ N} φ (g cd (d, N / d))$ 、楕円点の個数 $ν_{2} = \prod_{p ∣ N} (1 + (\frac{- 1}{p}))$ , $ν_{3} = \prod_{p ∣ N} (1 + (\frac{- 3}{p}))$ （ $4 ∣ N$ , $9 ∣ N$ なら $0$ ）を求められる

前提

モジュラー形式の定義と変換則（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
約数の個数と総和（数学A 整数の性質）

この技能までの道筋（79 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
モジュラー形式の定義と変換則（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
約数の個数と総和（数学A 整数の性質）

説明

合同部分群 $Γ_{0} (N) = {(a c b d) \in SL_{2} (Z) : c \equiv 0 (mod N)}$ について、 $SL_{2} (Z)$ での指数、尖点の個数、位数 2・位数 3 の楕円点の個数 $ν_{2}, ν_{3}$ を、 $N$ の素因数分解だけから計算できるようになります。これらはモジュラー曲線 $X_{0} (N)$ の種数や、 $Γ_{0} (N)$ に対するモジュラー形式の空間の次元を求めるときに必ず使う基本データです。

なぜそうしてよいのか

準備: 剰余類と射影直線. $g cd (c, d, N) = 1$ をみたす $(c, d) \in (Z / N Z)^{2}$ を、単元 $λ \in (Z / N Z)^{\times}$ 倍で $(c, d) \sim (λ c, λ d)$ と同一視した集合を $P^{1} (Z / N Z)$ と書き、類を $(c : d)$ と書きます。 $g \in SL_{2} (Z)$ に、その下の行の $N$ を法とした類 $(c : d)$ を対応させます。 $γ \in Γ_{0} (N)$ の下の行は $(0, D)$ （ $D$ は $N$ と互いに素）と合同なので、 $γ g$ の下の行は $D (c, d)$ となり、同じ点です。逆に下の行の類が同じ $g, g^{'}$ に対し $g^{'} g^{- 1}$ の左下成分は $N$ の倍数になる（ $g^{'} g^{- 1}$ の下の行は $(c^{'}, d^{'}) (d - c - b a)$ で、左下は $c^{'} d - d^{'} c \equiv λ (c d - d c) = 0$ ）ので $Γ_{0} (N) g = Γ_{0} (N) g^{'}$ 。また $g cd (c, d, N) = 1$ なら $d$ に $N$ の適当な倍数を足して $g cd (c, d) = 1$ にでき、そうすれば $(c, d)$ を下の行にもつ $SL_{2} (Z)$ の元が作れるので、すべての点が現れます。こうして右剰余類の集合 $Γ_{0} (N) \ SL_{2} (Z)$ は $P^{1} (Z / N Z)$ と一対一に対応し、 $Γ_{0} (N) g \cdot h = Γ_{0} (N) g h$ という右からの掛け算は $(c : d) \mapsto (c : d) h$ （行ベクトルに行列を掛ける）に対応します。以下では、中国剰余定理から従う事実「 $M ∣ N$ なら還元 $(Z / N Z)^{\times} \to (Z / M Z)^{\times}$ は全射」を何度か使います（素数べきでは $p$ で割れない数はどう持ち上げても $p$ で割れないことから明らか）。

指数. 指数は $P^{1} (Z / N Z)$ の点の個数で、中国剰余定理により素数べきごとに数えて掛ければよいです。 $N = p^{a}$ のとき、 $c, d$ の少なくとも一方が単元である組は $p^{2 a} - p^{2 a - 2}$ 個あり、単元 $p^{a} - p^{a - 1}$ 個による掛け算で同じ点になるものがちょうど $p^{a} - p^{a - 1}$ 個ずつ集まる（単元の成分があるので $λ (c, d) = (c, d)$ なら $λ = 1$ ）ので、点は $\frac{p ^{2 a} - p ^{2 a - 2}}{p ^{a} - p ^{a - 1}} = p^{a} + p^{a - 1} = p^{a} (1 + \frac{1}{p})$ 個です。よって $[SL_{2} (Z) : Γ_{0} (N)] = N \prod_{p ∣ N} (1 + \frac{1}{p})$ 。なお $- I \in Γ_{0} (N)$ なので、 $\pm I$ で割った群で考えても指数は同じです。

尖点. 尖点は $Q \cup {\infty}$ の $Γ_{0} (N)$ 軌道です。 $SL_{2} (Z)$ は $Q \cup {\infty}$ に推移的に作用し（既約分数 $\frac{a}{c}$ に対し $a d - b c = 1$ となる $b, d$ をとれば $g = (a c b d)$ が $\infty$ を $\frac{a}{c}$ に移す）、 $\infty$ を固定する元は $\pm T^{n}$ （ $T = (1011)$ ）だけです。したがって尖点は $Γ_{0} (N) \ SL_{2} (Z)$ を右から $\pm T^{n}$ で割ったもの、つまり $P^{1} (Z / N Z)$ を操作 $(c : d) \mapsto (c : d + n c)$ で同一視したものと一対一に対応します。この軌道を分類します。 $δ = g cd (c, N)$ は単元倍でも $d \mapsto d + n c$ でも変わらない不変量です。 $c = δ c_{0}$ と書くと $g cd (c_{0}, N / δ) = 1$ なので、 $λ \equiv c_{0}^{- 1} (mod N / δ)$ となる単元 $λ$ を掛けて $c = δ$ にそろえられます。代表 $(δ : y)$ では $g cd (δ, y) = 1$ です。第 1 成分 $δ$ を保つ操作は $λ \equiv 1 (mod N / δ)$ である単元倍と $y \mapsto y + n δ$ で、 $(δ : y)$ と $(δ : y^{'})$ が同じ軌道に入るのは、 $y^{'} \equiv λ y (mod δ)$ となるそのような $λ$ があるときです（このとき $y^{'} - λ y = m δ$ とおけば $n = m$ で $λ (y + n δ) \equiv y^{'} (mod N)$ ）。 $g = g cd (δ, N / δ)$ とおくと、そのような $λ$ を $δ$ を法として見たものは「 $g$ を法として $1$ と合同な単元」全体です（ $μ \equiv 1 (mod g)$ なら中国剰余定理で $λ \equiv μ (mod δ)$ , $λ \equiv 1 (mod N / δ)$ が両立し、単元に持ち上がる）。よって $δ$ を固定したときの軌道は $(Z / δ Z)^{\times}$ をこの部分群で割ったもの、すなわち $(Z / g Z)^{\times}$ と一対一で、ちょうど $φ (g)$ 個あり、どの値も実現されます。尖点の側から言い直すと、既約分数 $\frac{a}{c}$ （ $c = δ c_{0}$ ）に対して $a c_{0} mod g$ が不変量です。実際 $γ = (A C B D) \in Γ_{0} (N)$ で移した $\frac{a ^{'}}{c ^{'}}$ は $a^{'} = A a + B c \equiv A a (mod δ)$ , $c^{'} = C a + D c \equiv D c (mod N)$ より $c_{0}^{'} \equiv D c_{0} (mod N / δ)$ で、 $A D \equiv 1 (mod N)$ だから $a^{'} c_{0}^{'} \equiv A D a c_{0} \equiv a c_{0} (mod g)$ です（符号を同時に変えても $a c_{0}$ は不変）。以上で尖点の個数は $\sum_{δ ∣ N} φ (g cd (δ, N / δ))$ です（ $δ = N$ が $\infty$ 、 $δ = 1$ が $0$ の軌道）。

楕円点. $SL_{2} (Z)$ で固定部分群が ${\pm I}$ より大きい点は、 $i$ （固定部分群 ${\pm I, \pm S}$ 、 $S = (01 - 1 0)$ ）または $ρ = e^{2 π i /3}$ （固定部分群は $\pm (S T)^{k}$ 、 $S T = (01 - 1 1)$ 、 $S T ρ = \frac{- 1}{ρ + 1} = \frac{- 1}{- ρ ^{2}} = ρ$ ）と同じ軌道の点だけです。点 $τ = g (i)$ の $SL_{2} (Z)$ での固定部分群は $g {\pm I, \pm S} g^{- 1}$ なので、 $τ$ が $Γ_{0} (N)$ の位数 2 の楕円点であることは $g S g^{- 1} \in Γ_{0} (N)$ 、すなわち $Γ_{0} (N) g S = Γ_{0} (N) g$ と同値です。また $g (i)$ と $g^{'} (i)$ が $Γ_{0} (N)$ で移り合うのは $Γ_{0} (N) g^{'}$ が $Γ_{0} (N) g \cdot {\pm I, \pm S}$ に含まれるときなので、位数 2 の楕円点（の $Γ_{0} (N)$ 軌道）は、右から $S$ を掛けて動かない剰余類と一対一に対応します。 $P^{1} (Z / N Z)$ では $(c : d) S = (d : - c)$ で、 $(d, - c) = λ (c, d)$ なら $d = λ c$ なので $c$ と $N$ の共通の素因数は $d$ も割り、 $g cd (c, d, N) = 1$ より $c$ は単元です。 $c = 1$ にそろえた点 $(1 : x)$ が動かない条件は $λ = x$ , $- 1 = x^{2}$ 、つまり $x^{2} \equiv - 1 (mod N)$ で、相異なる $x$ は相異なる点を与えます。よって $ν_{2} = # {x mod N : x^{2} + 1 \equiv 0}$ 。同様に $S T$ で動かない剰余類（ $⟨ S T ⟩$ で動かない剰余類と同じ）を調べると $(1 : x) S T = (x : x - 1)$ なので条件は $x - 1 = x^{2}$ 、すなわち $ν_{3} = # {x mod N : x^{2} - x + 1 \equiv 0}$ で、 $x \mapsto - x$ と置き換えればこれは $x^{2} + x + 1 \equiv 0$ の解の個数に等しいです。

合同式の解の個数. 中国剰余定理により、解の個数は素数べき $p^{a} ∥ N$ ごとの個数の積です。まず $p$ を法として数えます。奇素数 $p$ では $(Z / p Z)^{\times}$ が位数 $p - 1$ の巡回群であること（事実として用います）を使うと、 $x^{2} \equiv - 1$ の解は位数 $4$ の元なので、 $4 ∣ p - 1$ なら $2$ 個、そうでなければ $0$ 個です。 $x^{2} + x + 1 \equiv 0$ の解は、 $p \neq = 3$ なら $x^{3} = 1$ , $x \neq = 1$ をみたす元（ $x = 1$ は $1 + 1 + 1 = 3 \neq \equiv 0$ で解でない）、つまり位数 $3$ の元なので、 $3 ∣ p - 1$ なら $2$ 個、そうでなければ $0$ 個です（ $p = 2$ でも $x^{2} + x + 1$ は常に奇数で解なし）。次に $p^{a}$ へ持ち上げます。 $f (x_{0}) \equiv 0 (mod p^{k})$ , $f^{'} (x_{0}) \neq \equiv 0 (mod p)$ なら、 $x = x_{0} + t p^{k}$ に対し $f (x) \equiv f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) t p^{k} (mod p^{k + 1})$ なので、 $f (x) \equiv 0 (mod p^{k + 1})$ となる $t mod p$ がちょうど 1 つあります（ヘンゼルの補題）。 $f = x^{2} + 1$ では $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}$ 、 $f = x^{2} + x + 1$ では $(2 x_{0} + 1)^{2} = 4 f (x_{0}) - 3 \equiv - 3$ で、それぞれ $p \neq = 2$ , $p \neq = 3$ なら $p$ で割れないので、 $p^{a}$ を法とした解の個数は $p$ を法としたときと同じです。残る $p = 2$ の $x^{2} + 1$ は、 $mod 2$ で $x = 1$ の 1 個、 $mod 4$ では平方が $0, 1$ だけなので $a \geq 2$ で $0$ 個。 $p = 3$ の $x^{2} + x + 1 \equiv (x - 1)^{2} (mod 3)$ は $mod 3$ で $x = 1$ の 1 個、 $mod 9$ では $x = 1 + 3 t$ で $3 + 9 t + 9 t^{2} \equiv 3$ となり $a \geq 2$ で $0$ 個です。以上が $ν_{2} = \prod_{p ∣ N} (1 + (\frac{- 1}{p}))$ （ $4 ∣ N$ なら $0$ ）、 $ν_{3} = \prod_{p ∣ N} (1 + (\frac{- 3}{p}))$ （ $9 ∣ N$ なら $0$ ）の中身で、記号 $(\frac{- 1}{p})$ は $p \equiv 1 (mod 4)$ で $1$ 、 $p \equiv 3 (mod 4)$ で $- 1$ 、 $p = 2$ で $0$ 、 $(\frac{- 3}{p})$ は $p \equiv 1 (mod 3)$ で $1$ 、 $p \equiv 2 (mod 3)$ （ $p = 2$ を含む）で $- 1$ 、 $p = 3$ で $0$ を表します。

手順

$N$ を素因数分解し、 $N$ を割る素数 $p$ とその指数を書き出す。
指数を計算する: $[SL_{2} (Z) : Γ_{0} (N)] = N \prod_{p ∣ N} (1 + \frac{1}{p})$ （素数べきごとに $p^{a} + p^{a - 1}$ を掛けてもよい）。
$N$ の正の約数 $δ$ をすべて並べ、各 $δ$ について $g = g cd (δ, N / δ)$ と $φ (g)$ を求め、合計して尖点の個数 $\sum_{δ ∣ N} φ (g cd (δ, N / δ))$ を得る。
$ν_{2}$ を計算する: $4 ∣ N$ なら $0$ 。そうでなければ各 $p ∣ N$ に対し、 $p = 2$ なら因子 $1$ 、 $p \equiv 1 (mod 4)$ なら $2$ 、 $p \equiv 3 (mod 4)$ なら $0$ を掛ける。
$ν_{3}$ を計算する: $9 ∣ N$ なら $0$ 。そうでなければ各 $p ∣ N$ に対し、 $p = 3$ なら因子 $1$ 、 $p \equiv 1 (mod 3)$ なら $2$ 、 $p \equiv 2 (mod 3)$ （ $p = 2$ を含む）なら $0$ を掛ける。

例題

$N = 50$ とする。 $Γ_{0} (50)$ の $SL_{2} (Z)$ における指数、尖点の個数、位数 2 の楕円点の個数 $ν_{2}$ 、位数 3 の楕円点の個数 $ν_{3}$ を、この順に組で求めよ。

例題の解答

手順 1: $50 = 2 \cdot 5^{2}$ 。割る素数は $2, 5$ 。

手順 2（指数）: $50 \cdot (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{5}) = 50 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} = 90$ 。（素数べきごとに $(2 + 1) (25 + 5) = 3 \cdot 30 = 90$ と計算しても同じ。）

手順 3（尖点）: $50$ の約数は $1, 2, 5, 10, 25, 50$ 。
- $δ = 1$ : $g cd (1, 50) = 1$ , $φ (1) = 1$
- $δ = 2$ : $g cd (2, 25) = 1$ , $φ (1) = 1$
- $δ = 5$ : $g cd (5, 10) = 5$ , $φ (5) = 4$
- $δ = 10$ : $g cd (10, 5) = 5$ , $φ (5) = 4$
- $δ = 25$ : $g cd (25, 2) = 1$ , $φ (1) = 1$
- $δ = 50$ : $g cd (50, 1) = 1$ , $φ (1) = 1$

合計 $1 + 1 + 4 + 4 + 1 + 1 = 12$ 。

手順 4（ $ν_{2}$ ）: $4 ∤ 50$ 。 $p = 2$ の因子は $1$ 、 $p = 5 \equiv 1 (mod 4)$ の因子は $2$ 。よって $ν_{2} = 1 \cdot 2 = 2$ 。（実際 $x^{2} \equiv - 1 (mod 50)$ の解は $x \equiv 7, 43$ の 2 個。）

手順 5（ $ν_{3}$ ）: $9 ∤ 50$ 。 $p = 2 \equiv 2 (mod 3)$ の因子が $0$ なので $ν_{3} = 0$ 。（ $x^{2} - x + 1$ は常に奇数なので $mod 2$ で解がない。）

（検算: 種数の公式 $1 + \frac{90}{12} - \frac{2}{4} - \frac{0}{3} - \frac{12}{2} = 2$ が非負整数になり、矛盾はない。）

よって答えは $(90, 12, 2, 0)$ 。

答え: $(90, 12, 2, 0)$

よくある誤り

指数をオイラー関数と混同して $N \prod_{p ∣ N} (1 - \frac{1}{p})$ としてしまう誤り。正しくは $N \prod_{p ∣ N} (1 + \frac{1}{p})$ で、たとえば $N = 4$ では $2$ ではなく $4 \cdot \frac{3}{2} = 6$ 。
素数べきの指数を $(p + 1)^{a}$ としてしまう誤り。正しくは $N = p^{a}$ のとき $p^{a} + p^{a - 1} = p^{a - 1} (p + 1)$ で、たとえば $N = 9$ では $16$ ではなく $9 + 3 = 12$ 。
尖点の個数を約数の個数としてしまう誤り。正しくは各約数 $δ$ に $φ (g cd (δ, N / δ))$ の重みが付き、たとえば $N = 50$ では $6$ ではなく $12$ 。 $N$ が平方因子をもたないときに限り $g cd (δ, N / δ) = 1$ がすべての $δ$ で成り立ち、尖点の個数が約数の個数に一致する。
$p = 2$ や $p = 3$ の扱いを誤る誤り。 $ν_{2}$ で $p = 2$ の因子は（ $4 ∤ N$ のとき） $1$ で、 $N = 2$ なら $x^{2} + 1 \equiv 0 (mod 2)$ が $x = 1$ を解にもつので $ν_{2} = 1$ 。 $4 ∣ N$ なら $ν_{2} = 0$ 。同様に $ν_{3}$ で $p = 3$ の因子は（ $9 ∤ N$ のとき） $1$ 、 $9 ∣ N$ なら $ν_{3} = 0$ 。たとえば $N = 3$ で $ν_{3} = 0$ や $2$ とするのは誤りで、正しくは $x^{2} - x + 1 \equiv (x + 1)^{2} (mod 3)$ の解 $x = 2$ の 1 個から $ν_{3} = 1$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $N$ に対して
$Γ_{0} (N) = {(a c b d) \in SL_{2} (Z) c \equiv 0 (mod N)}$
とする。 $Γ_{0} (N)$ は $P^{1} (Q) = Q \cup {\infty}$ に一次分数変換 $x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ で作用し、この作用による軌道を $Γ_{0} (N)$ の尖点という。 $Γ_{0} (18)$ の尖点の個数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

Γ₀(N) の尖点形式の次元公式（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）