楕円関数・モジュラー形式の問題

指標の性質. $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は $2$ で生成される位数 $12$ の巡回群なので、指標は $\zeta =\chi (2)$（${\zeta }^{12}=1$）で決まる。$-1\equiv 2^6$ だから $\chi (-1)={\zeta }^6$。${\chi }_a$ では $i^6=-1$、${\chi }_b$ では $e^{\pi i}=-1$ で、どちらも奇指標である（$k=11$ は奇数なので、$-I$ を作用させたときの条件 $f=\chi (-1)(-1{)}^{k}f$ と矛盾せず、空間は $0$ とは限らない）。また ${\chi }_a$ は位数 $4$、${\chi }_b$ は位数 $12$ で、どちらも自明でないから導手は $13$ である。

次元公式（Cohen–Oesterlé）. $k\ge 2$ のとき
$$\dim S_k({\Gamma }_0(N),\chi )-\dim M_{2-k}({\Gamma }_0(N),\bar{\chi })=\frac{k-1}{12}\psi (N)-\frac{1}{2}\prod _{p\mid N}\lambda (r_p,s_p,p)+{\gamma }_4(k)\sum _{\begin{array}{c}x\mathrm{mod}N\\ x^2+1\equiv 0\end{array}}\chi (x)+{\gamma }_3(k)\sum _{\begin{array}{c}x\mathrm{mod}N\\ x^2+x+1\equiv 0\end{array}}\chi (x).$$
ここで $\psi (N)=N{\prod }_{p\mid N}(1+1/p)$、$r_p,s_p$ はそれぞれ $N$、導手における $p$ の指数、${\gamma }_4(k)=0(k\text{ 奇数})$、${\gamma }_3(k)=0,-\frac{1}{3},\frac{1}{3}$（$k\equiv 1,2,0(\mathrm{mod}3)$）。これは $X_0(13)$ 上のリーマン・ロッホの定理に、楕円点とカスプでの寄与を加えたものである。

各項の計算（$N=13,k=11$）.
- $M_{2-k}=M_{-9}=0$（負の重さの正則モジュラー形式は $0$）。
- $\psi (13)=14$ なので $\frac{10}{12}\cdot 14=\frac{35}{3}$。
- $r_{13}=1,s_{13}=1$ で $2s>r$ より $\lambda =2p^{r-s}=2$。よって $-\frac{1}{2}\cdot 2=-1$。
- $k$ は奇数なので ${\gamma }_4(11)=0$。
- $11\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なので ${\gamma }_3(11)=-\frac{1}{3}$。$x^2+x+1\equiv 0(\mathrm{mod}13)$ の解は $x=3,9$（$9+3+1=13$、$81+9+1=91=7\cdot 13$）。$2^4=16\equiv 3$、$2^8=256\equiv 9$ だから $\chi (3)+\chi (9)={\zeta }^4+{\zeta }^8$。

${\chi }_a$（$\zeta =i$）. ${\zeta }^4={\zeta }^8=1$ より和は $2$。
$$\dim S_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_a)=\frac{35}{3}-1-\frac{1}{3}\cdot 2=10.$$

${\chi }_b$（$\zeta =e^{\pi i/6}$）. ${\zeta }^4=e^{2\pi i/3}=\omega$ は $1$ の原始 $3$ 乗根で、${\zeta }^8={\omega }^2$。よって和は $\omega +{\omega }^2=-1$。
$$\dim S_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_b)=\frac{35}{3}-1+\frac{1}{3}=11.$$

検算. $S_{11}({\Gamma }_1(13))={⨁}_{\chi \text{奇}}{S}_{11}({\Gamma }_0(13),\chi )$ が成り立つ。奇指標は位数 $4$ のものが $2$ 個、位数 $12$ のものが $4$ 個あり、上と同じ計算から、位数 $4$ のものはどれも次元 $10$、位数 $12$ のものはどれも次元 $11$ である。よって合計は $2\cdot 10+4\cdot 11=64$。

一方、${\Gamma }_1(13)$ について $\pm {\Gamma }_1(13)$ の ${\mathrm{PSL}}_2(\mathbb{Z})$ での指数は $\frac{1}{2}\cdot 169\cdot \frac{168}{169}=84$、楕円点はなく、カスプ数は $\frac{1}{2}(\phi (1)\phi (13)+\phi (13)\phi (1))=12$ で、すべて正則である。種数は $g=1+\frac{84}{12}-\frac{12}{2}=2$。したがって $k\ge 3$ で $\dim S_k({\Gamma }_1(13))=(k-1)(g-1)+\left(\frac{k}{2}-1\right)\cdot 12=7k-13$ となり、$k=11$ で $64$。上の合計と一致する。

答えは $(10,11)$。

コーエン–エステルレの次元公式を使う。$k=11$、$N=13$ で、$\chi$ は導手 $13$ の非自明な指標である。\n\nまず偶奇の条件を確かめる。$\chi (-1)=\chi (2^6)=\chi (2{)}^6$ である。${\chi }_a(-1)=i^6=-1$、${\chi }_b(-1)=e^{\pi i}=-1$ で、どちらも $(-1{)}^{11}=-1$ と一致する。\n\n公式は次のとおり。\n$$\dim S_k-\dim M_{2-k}(\bar{\chi })=\frac{k-1}{12}\cdot [{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}):{\Gamma }_0(N)]-\frac{1}{2}\prod _p\lambda +{\epsilon }_k\sum _{x^2+1=0}\chi (x)+{\mu }_k\sum _{x^2+x+1=0}\chi (x).$$\n$M_{-9}=0$ なので左辺の第 2 項は $0$ である。各項は次のとおり。\n- 指数は $14$ だから、第 1 項は $\frac{10}{12}\cdot 14=\frac{35}{3}$。\n- カスプの項は、$r_p=1$、$s_p=1$ で $2s_p>r_p$ なので $\lambda =2$ となり、$-\frac{1}{2}\cdot 2=-1$。\n- $k$ が奇数なので ${\epsilon }_k=0$。\n- $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なので ${\mu }_k=-\frac{1}{3}$。\n- $x^2+x+1\equiv 0(\mathrm{mod}13)$ の解は $x=3,9$。$3=2^4$、$9=2^8$ （$2^4=16\equiv 3$、$2^8=256\equiv 9$）なので、和は $\chi (2{)}^4+\chi (2{)}^8$。\n\n${\chi }_a$ の場合、$i^4+i^8=2$ である。したがって次元は $\frac{35}{3}-1-\frac{2}{3}=10$。\n\n${\chi }_b$ の場合、${\chi }_b(2{)}^4=e^{2\pi i/3}$、${\chi }_b(2{)}^8=e^{4\pi i/3}$ なので和は $-1$ である。したがって次元は $\frac{35}{3}-1+\frac{1}{3}=11$。\n\nどちらも整数になり、整合している。\n\n答えは $(10,11)$。