Γ₀(N) の尖点形式の次元公式

この節の導出は、前提の技能の外にある次の 2 つの定理を事実として用います（使い方の手順だけが必要なら、この節は読み飛ばして steps に進んでかまいません）。用語: コンパクトなリーマン面（局所的に複素平面の開集合と同じ形をした閉じた曲面）$X$ には種数 $g$（穴の数）が定まります。$X$ 上の有理型関数 $F$ の各点 $P$ での位数を ${\mathrm{ord}}_{P}F$ と書き、点に整数を割り当てた有限和 $D=\sum n_{P}P$ を因子、$\mathrm{deg}D=\sum n_P$ をその次数と呼びます。$L(D)=\{F:F=0\text{ または すべての }P\text{ で }{\mathrm{ord}}_{P}F\ge -n_P\}$ は「点 $P$ で $n_P$ 位までの極を許す」関数の空間です。正則でない定数でない写像 $\pi :X\to Y$ について、点 $P$ の近くで $\pi$ が局所座標で $t\mapsto t^{e_P}$ の形になるとき $e_P$ を分岐指数といいます。
- リーマン・フルヴィッツの公式: 次数 $n$ の写像 $\pi :X\to Y$ に対し $2g_X-2=n(2g_Y-2)+{\sum }_{P\in X}(e_P-1)$。
- リーマン・ロッホの定理（の一部）: $0$ でない有理型微分 $\omega$ の因子 $K=\mathrm{div}\omega$ は $\mathrm{deg}K=2g-2$ をみたし、$\mathrm{deg}D>2g-2$ なら $\dim L(D)=\mathrm{deg}D-g+1$。

種数. 上半平面を ${\Gamma }_0(N)$ で割り尖点を付け加えたコンパクトなリーマン面を $X_0(N)$、レベル 1 のものを $X(1)$（種数 $0$）とします。自然な写像 $\pi :X_0(N)\to X(1)$ の次数は $\mu$ です（$-I\in {\Gamma }_0(N)$ なので $\pm I$ で割っても指数は同じ）。分岐が起こりうるのは $i,\rho =e^{2\pi i/3},\infty$ の上だけで、点 $P$ の分岐指数は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ での固定部分群と ${\Gamma }_0(N)$ での固定部分群の（$\pm I$ を除いた）指数です。$i$ の上では、${\Gamma }_0(N)$ の位数 2 の楕円点（${\nu }_2$ 個）が $e=1$、残りは $e=2$ で、$e$ の和が $\mu$ なので $\sum (e-1)=\frac{\mu -{\nu }_2}{2}$。$\rho$ の上も同様に $\sum (e-1)=\frac{2(\mu -{\nu }_3)}{3}$。$\infty$ の上には尖点が ${\nu }_{\infty }$ 個あり $\sum (e-1)=\mu -{\nu }_{\infty }$。公式に入れると
$$2g-2=-2\mu +\frac{\mu -{\nu }_2}{2}+\frac{2(\mu -{\nu }_3)}{3}+\mu -{\nu }_{\infty }=\frac{\mu }{6}-\frac{{\nu }_2}{2}-\frac{2{\nu }_3}{3}-{\nu }_{\infty }$$
で、$g$ について解くと種数の公式です。分数が現れますが $g$ は必ず 0 以上の整数なので、検算に使えます。

次元. $f\in S_k({\Gamma }_0(N))$ に対し $f(\tau )(d\tau {)}^{k/2}$ は変換則 $d(\gamma \tau )=(c\tau +d{)}^{-2}d\tau$ により ${\Gamma }_0(N)$ 不変で、$X_0(N)$ 上の「$k/2$ 重の有理型微分」を与えます。$0$ でない有理型微分 $\omega$ を 1 つ固定すると $f(d\tau {)}^{k/2}=F{\omega }^{k/2}$（$F$ は $X_0(N)$ 上の有理型関数）と書け、$f\leftrightarrow F$ は一対一です。$f$ が正則で尖点で消えるという条件を、$X_0(N)$ の局所座標 $t$ での位数に翻訳します。(i) 楕円点でない上半平面の点では $t=\tau -{\tau }_0$ でよく、条件は位数 $\ge 0$。(ii) 位数 $e$（$=2,3$）の楕円点 ${\tau }_0$ では局所座標が $t=z^e$（$z=\frac{\tau -{\tau }_0}{\tau -{\bar{\tau }}_0}$）なので、$f$ の $\tau$ での零点の位数 $m$ は $t$ では $m/e$ に、$d\tau$ は $t^{1/e-1}dt$ の位数 $\frac{1}{e}-1$ になります。したがって ${\mathrm{ord}}_t(f(d\tau {)}^{k/2})=\frac{m}{e}-\frac{k}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right)$ で、これは $X_0(N)$ 上の位数なので整数です。$m\ge 0$ という条件は「この整数が $-\frac{k}{2}(1-\frac{1}{e})$ 以上」、つまり「$-\lfloor \frac{k}{2}(1-\frac{1}{e})\rfloor$ 以上」と同値で、$e=2$ なら $\lfloor \frac{k}{4}\rfloor$、$e=3$ なら $\lfloor \frac{k}{3}\rfloor$ 位までの極が許されることになります。切り捨てはここから生じます。(iii) 幅 $h$ の尖点では局所座標 $q_h=e^{2\pi i\tau /h}$ について $d\tau =\frac{h}{2\pi i}\frac{d{q}_h}{q_h}$ なので位数が $\frac{k}{2}$ 下がり、「$f$ が尖点で 1 位以上で消える」は「$\frac{k}{2}-1$ 位までの極を許す」と同値です。以上から $S_k({\Gamma }_0(N))\cong L(D)$、
$$D=\frac{k}{2}K+\left(\frac{k}{2}-1\right)\sum _{\text{尖点}}c+\lfloor \frac{k}{4}\rfloor \sum _{e=2}P+\lfloor \frac{k}{3}\rfloor \sum _{e=3}P,K=\mathrm{div}\omega$$
で、$\mathrm{deg}D=\frac{k}{2}(2g-2)+\left(\frac{k}{2}-1\right){\nu }_{\infty }+\lfloor \frac{k}{4}\rfloor {\nu }_2+\lfloor \frac{k}{3}\rfloor {\nu }_3$ です。偶数 $k\ge 4$ では $\lfloor \frac{k}{4}\rfloor \ge \frac{k-2}{4}$, $\lfloor \frac{k}{3}\rfloor \ge \frac{k-2}{3}$ と上の $2g-2$ の式から $\mathrm{deg}D-(2g-2)\ge \left(\frac{k}{2}-1\right)\frac{\mu }{6}>0$ となるので、リーマン・ロッホより $\dim S_k=\mathrm{deg}D-g+1$。$\frac{k}{2}(2g-2)-(g-1)=(k-1)(g-1)$ なので、これが次元公式です。$k=2$ では $\mathrm{deg}D=2g-2+0$ でこの条件が成り立たず、公式は使えません。

検算として $N=1$ では $\mu ={\nu }_2={\nu }_3={\nu }_{\infty }=1$、$g=1+\frac{1}{12}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=0$ で、$k=12$ なら $\dim S_{12}=-11+5+3+4=1$ となり、前提の技能で知っている $\dim S_{12}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))=1$ と一致します。