楕円関数・モジュラー形式の問題

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。${\Gamma }_0(13)$ に関する重さ $6$ の正則な尖点形式（カスプ形式）全体のなす複素ベクトル空間 $S_6({\Gamma }_0(13))$ の次元を求めよ。ただし、指標（ネベンタイプ）は自明なものとする。

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とし、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の尖点形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

${\Gamma }_0(N)$ の指数を $\mu =[{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}):{\Gamma }_0(N)]$、位数 $2$ の楕円点の個数を ${\nu }_2$、位数 $3$ の楕円点の個数を ${\nu }_3$、尖点の個数を ${\nu }_{\infty }$ とすると、モジュラー曲線 $X_0(N)$ の種数は
$$g=1+\frac{\mu }{12}-\frac{{\nu }_2}{4}-\frac{{\nu }_3}{3}-\frac{{\nu }_{\infty }}{2}$$
であり、偶数 $k\ge 4$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_k({\Gamma }_0(N))=(k-1)(g-1)+\left(\frac{k}{2}-1\right){\nu }_{\infty }+\lfloor \frac{k}{4}\rfloor {\nu }_2+\lfloor \frac{k}{3}\rfloor {\nu }_3$$
が成り立つ。これらを用いて ${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_8({\Gamma }_0(7))$ を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。正の偶数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の（自明な指標をもつ）正則カスプ形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

$S_{12}({\Gamma }_0(13))$ の部分空間 $S_{12}^{\mathrm{old}}({\Gamma }_0(13))$ を、$f\in S_{12}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ を動かしたときの関数 $f(\tau )$ と $f(13\tau )$ 全体で張られる部分空間と定め、そのペテルソン内積に関する直交補空間を新形式の空間 $S_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ とする。

${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、主合同部分群
$$\Gamma (7)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)(\mathrm{mod}7)\right\}$$
を考える。整数 $k$ に対し、$\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \Gamma (7)$ について
$$f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )(\tau \in \mathbb{H})$$
を満たし、$\Gamma (7)$ のすべてのカスプで正則かつ $0$ になるものを、$\Gamma (7)$ に関する重さ $k$ の尖点形式とよび、その全体のなす複素ベクトル空間を $S_k(\Gamma (7))$ とする。

重さが奇数 $k=3$ のときの次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_3(\Gamma (7))$ を求めよ。

正の整数 $m$ に対して $$r_4(m)=\#\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{Z}}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m\}$$ とすると、ヤコビの四平方定理により $$r_4(m)=8\sum _{d\mid m,d>0,4\nmid d}d$$ が成り立つ。これを用いて、$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=60$$ を満たす正の奇数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$（順序を区別する）の個数を求めよ。