楕円関数・モジュラー形式の問題

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。正の偶数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の（自明な指標をもつ）正則カスプ形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

$S_{12}({\Gamma }_0(13))$ の部分空間 $S_{12}^{\mathrm{old}}({\Gamma }_0(13))$ を、$f\in S_{12}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ を動かしたときの関数 $f(\tau )$ と $f(13\tau )$ 全体で張られる部分空間と定め、そのペテルソン内積に関する直交補空間を新形式の空間 $S_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ とする。

${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ を求めよ。

整数 $k$ に対し、$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間とする。すなわち $M_k$ は、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ に対して $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ をみたし、$q=e^{2\pi i\tau }$ について $|q|<1$ で収束する展開 $f(\tau )={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(f)q^n$ をもつもの全体である。$d_k={\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k$ とおく。

次の事実は用いてよい。

• $k<0$ のとき $M_k=\{0\}$ である。
• $k\ge 0$ が偶数のとき、$k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ ならば $d_k=\lfloor k/12\rfloor$、そうでなければ $d_k=\lfloor k/12\rfloor +1$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ の元であり、この無限積は $|q|<1$ で広義一様収束して、$\mathbb{H}$ 上で $\Delta (\tau )\ne 0$ である。

偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対し
$$M_k^{(m)}=\{f\in M_k\mid a_n(f)=0(0\le n\le m-1)\}$$
とおく（$m=0$ のときは $M_k^{(0)}=M_k$）。このとき、すべての偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k^{(m)}=\max (d_k-m,0)$$
が成り立つことを証明せよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$（$k\ge 4$ は偶数）の正規化されたアイゼンシュタイン級数を
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n,q=e^{2\pi i\tau }$$
とする。ここで $B_k$ はベルヌーイ数で、$B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42},B_{10}=\frac{5}{66}$ である。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $10$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることは用いてよい。

$$\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

$\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ を上半平面、$\Gamma =S{L}_2(\mathbb{Z})$ とし、$q=e^{2\pi i\tau }$、$\rho =e^{2\pi i/3}$ とする。整数 $k$ に対し、$M_k$ を次の条件をみたす関数 $f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$ 全体のなす複素ベクトル空間とする。
- $f$ は $\mathbb{H}$ 上で正則である。
- すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \Gamma$ と $\tau \in \mathbb{H}$ に対し $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ である。
- 単位円板 $|q|<1$ 上の正則関数 $F$ で、$f(\tau )=F(e^{2\pi i\tau })$ となるものが存在する。

$0\ne f\in M_k$ と $p\in \mathbb{H}$ に対し、$v_p(f)$ を $f$ の $p$ における零点の位数、$v_{\infty }(f)$ を $F$ の $q=0$ における零点の位数とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

- (a)（零点の個数の公式）$0\ne f\in M_k$ ならば、$\Gamma$ による $\mathbb{H}$ の軌道のうち $i,\rho$ の軌道以外のものから代表元を 1 つずつとって $p$ を動かすとき
$$v_{\infty }(f)+\frac{1}{2}{v}_i(f)+\frac{1}{3}{v}_{\rho }(f)+\sum _p{v}_p(f)=\frac{k}{12}$$
が成り立つ（左辺の和は有限和である）。
- (b) $E_4\in M_4$, $E_6\in M_6$ であり、それぞれの $q$ 展開の定数項は $1$ である。

$k\ge 14$ を $k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ をみたす整数とする。このとき、任意の $f\in M_k$ に対し、$f=E_4^2{E}_{6}g$ をみたす $g\in M_{k-14}$ が存在することを証明せよ。

ガウス整数のなす格子 $\Lambda =\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i\subset \mathbb{C}$ を考える。整数 $k\ge 2$ に対してアイゼンシュタイン級数を
$$G_{2k}=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$
と定める（絶対収束する）。$\wp (z)$ を $\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの ℘ 関数とし、$g_2=60G_4$, $g_3=140G_6$ とする。このとき $G_4\ne 0$ であり、ある有理数 $r$ が存在して
$$G_{16}=r{G}_4^4$$
が成り立つ。$r$ を求めよ。