j 関数の q 展開と特別な値

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とし、${\sigma }_r(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^r$ とする。アイゼンシュタイン級数と判別式を
$$E_4=1+240\sum _{n\ge 1}{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n\ge 1}{\sigma }_5(n)q^n,\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}$$
で定めると、$E_4^3-E_6^2=1728\Delta$ が成り立つ。関数
$$f(\tau )=\frac{E_6(\tau {)}^2}{\Delta (\tau )}$$
を $q$ のローラン級数 $f={\sum }_{n\ge -1}{c}_n{q}^n$ で表したとき、定数項 $c_0$ を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて $$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{q}^n(c_n\in \mathbb{Z},c_1=196884)$$ と展開される。${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$（$\sqrt{-67}=i\sqrt{67}$）とする。虚数乗法の理論により、判別式 $-67$ の虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-67})$ の類数が $1$ であることから $j({\tau }_0)$ は整数であり、実際 $$j({\tau }_0)=-5280^3$$ であることが知られている。また $\tau ={\tau }_0$ のとき $$\left|\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{q}^n\right|<\frac{1}{10}$$ が成り立つことも用いてよい。実数 $e^{\pi \sqrt{67}}$ に最も近い整数を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n(c(n)\in \mathbb{Z},c(1)=196884)$$
と $q$ 展開される（$j(i)=1728$ と正規化されたもの）。

${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ とする（$\sqrt{-19}=\sqrt{19}i$）。${\tau }_0$ は虚数乗法をもつ点であり、虚 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数が $1$ であることから、虚数乗法の理論により $j({\tau }_0)$ は有理整数であることが知られている。このことと、次の 2 つの事実を用いてよい。

• $e^{\pi \sqrt{19}}=885479.7776\cdots$
• $\tau ={\tau }_0$ に対応する $q$ について $\left|\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n\right|<\frac{1}{2}$

このとき、$j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ を、格子 ${\Lambda }_{\tau }=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ の不変量 $g_2,g_3$ を用いて
$$j(\tau )=1728\cdot \frac{g_2({\Lambda }_{\tau }{)}^3}{g_2({\Lambda }_{\tau }{)}^3-27g_3({\Lambda }_{\tau }{)}^2}$$
で定める（したがって $j(i)=1728$ である）。また、$\mathbb{C}$ 上の楕円曲線 $y^2=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$ の $j$ 不変量は、対応する格子 $\Lambda$（$E(\mathbb{C})\cong \mathbb{C}/\Lambda$）について $1728g_2^3/(g_2^3-27g_3^2)$ に等しい。

楕円曲線 $E:y^2=x^3-x$ を用いて、$j(2i)$ の値を求めよ。

上半平面の点 $\tau$ に対して、格子 ${\Lambda }_{\tau }=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ の不変量を $g_2(\tau )=60{\sum }_{\omega \in {\Lambda }_{\tau }\setminus \{0\}}{\omega }^{-4}$, $g_3(\tau )=140{\sum }_{\omega \in {\Lambda }_{\tau }\setminus \{0\}}{\omega }^{-6}$ とし、$j$ 関数を
$$j(\tau )=1728\frac{g_2(\tau {)}^3}{g_2(\tau {)}^3-27g_3(\tau {)}^2}$$
で定める。$j(i)=1728$ であることは用いてよい。

$j(4i)$ は $a+b\sqrt{2}$（$a,b$ は整数）の形に表される。この値を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、$M_k$ で ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の（正則な）モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間を表す。$f\in M_k$, $f\ne 0$ に対して、${\tau }_0\in \mathbb{H}$ における $f$ の零点の位数を ${\mathrm{ord}}_{{\tau }_0}f$、$q=e^{2\pi i\tau }$ による展開 $f={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{q}^n$ において $a_n\ne 0$ となる最小の $n$ を ${\mathrm{ord}}_{\infty }f$ とする。$\rho =e^{2\pi i/3}$ とし、
$$V=\{0\}\cup \{f\in M_{200}\setminus \{0\}|{\mathrm{ord}}_{\infty }f\ge 5,{\mathrm{ord}}_{i}f\ge 3,{\mathrm{ord}}_{\rho }f\ge 7\}$$
とおく。$V$ は $M_{200}$ の部分空間である。${\dim }_{\mathbb{C}}V$ を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上でテータ関数を
$${\theta }_2(\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{e}^{\pi i\tau (n+\frac{1}{2}{)}^2},{\theta }_3(\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{e}^{\pi i\tau n^2},{\theta }_4(\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}(-1{)}^n{e}^{\pi i\tau n^2}$$
で定め、モジュラー λ 関数を $\lambda (\tau )={\theta }_2(\tau {)}^4/{\theta }_3(\tau {)}^4$、$k^{\prime }(\tau )={\theta }_4(\tau {)}^2/{\theta }_3(\tau {)}^2$ とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

$(1)$ ${\theta }_3^4={\theta }_2^4+{\theta }_4^4$。特に $k^{\prime }(\tau {)}^2=1-\lambda (\tau )$。

$(2)$ $\lambda (-1/\tau )=1-\lambda (\tau )$。

$(3)$（ランデン変換）$\lambda (2\tau )={\left(\frac{1-k^{\prime }(\tau )}{1+k^{\prime }(\tau )}\right)}^2$。

$(4)$ $\tau$ が純虚数のとき ${\theta }_2(\tau ),{\theta }_3(\tau ),{\theta }_4(\tau )$ はすべて正の実数で、$0<\lambda (\tau )<1$、$0<k^{\prime }(\tau )<1$ である。

$(5)$ 楕円モジュラー関数 $j$（$j(i)=1728$ となる通常の正規化のもの）は
$$j(\tau )=\frac{256(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau {)}^2{)}^3}{\lambda (\tau {)}^2(1-\lambda (\tau ){)}^2}$$
と表される。

このとき、$j(2\sqrt{2}i)$ の値を求めよ。答えは $a+b\sqrt{2}$（$a,b$ は有理数）の形で表せ。