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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

上半平面 $H = {τ \in C ∣ Im τ > 0}$ 上の楕円モジュラー関数 $j (τ)$ を、格子 $Λ_{τ} = Z + Z τ$ の不変量 $g_{2}, g_{3}$ を用いて
$j (τ) = 1728 \cdot \frac{g _{2} ( Λ _{τ} ) ^{3}}{g _{2} ( Λ _{τ} ) ^{3} - 27 g _{3} ( Λ _{τ} ) ^{2}}$
で定める（したがって $j (i) = 1728$ である）。また、 $C$ 上の楕円曲線 $y^{2} = x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{4} x + a_{6}$ の $j$ 不変量は、対応する格子 $Λ$ （ $E (C) ≅ C /Λ$ ）について $1728 g_{2}^{3} / (g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2})$ に等しい。

楕円曲線 $E : y^{2} = x^{3} - x$ を用いて、 $j (2 i)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ワイエルシュトラスの ℘ 関数と不変量 g₂, g₃（説明と入口の問題）
j 関数の q 展開と特別な値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（95 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$Λ_{2 i} = Z + 2 i Z$ と $Z [i]$ は指数 $2$ の関係にある。 $C / Z [i]$ から適当な $2$ 次の同種写像で $C / Λ_{2 i}$ と相似な曲線に移れることを使おう。

ヒント 2

$y^{2} = x^{3} - x$ の $2$ 等分点 $(1, 0), (0, 0), (- 1, 0)$ のうち、格子 $c Z [i]$ の半周期 $c /2$ に対応するのはどれかを考える。 $y^{2} = x (x^{2} + a x + b)$ を ${O, (0, 0)}$ で割ると $Y^{2} = X (X^{2} - 2 a X + a^{2} - 4 b)$ になる。

ヒント 3

半周期 $c /2$ には $(1, 0)$ が対応する。 $x \mapsto x + 1$ で $y^{2} = x (x^{2} + 3 x + 2)$ にしてから割ると $Y^{2} = X^{3} - 6 X^{2} + X$ が得られる。この曲線の $j$ 不変量を計算する。

答えと解説

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287496

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解説を読む

1. $E$ に対応する格子. $E : y^{2} = x^{3} - x$ は $y^{2} = 4 x^{3} - g_{2} x - g_{3}$ の形に直すと（ $y \mapsto y /2$ ） $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ の曲線であり、 $j (E) = 1728$ 。 $g_{3} = 0$ となる格子は $i$ 倍で不変な格子、すなわち $c Z [i]$ （ $c \in C^{\times}$ ）であり、 $℘$ の実数性を考えて $c > 0$ と取れる。このとき写像 $z \mapsto (℘ (z), ℘^{'} (z) /2)$ で $C / c Z [i] ≅ E (C)$ となる。

正方格子 $c Z [i]$ では $℘$ は実軸上で実数値をとり、3 つの半周期での値は $℘ (c /2) = e_{1} > ℘ ((1 + i) c /2) = e_{2} > ℘ (i c /2) = e_{3}$ の順に並ぶ。これらは $x^{3} - x = 0$ の根 $1, 0, - 1$ なので、 $z = c /2$ に対応する $2$ 等分点は $(1, 0)$ である。

2. $2 i$ に対応する格子. $Λ^{'} = c Z [i] + Z \frac{c}{2} = c (\frac{1}{2} Z + i Z) = \frac{c}{2} (Z + 2 i Z)$ とおくと、 $C / c Z [i] \to C / Λ^{'}$ は核が ${0, c /2}$ の $2$ 次の同種写像であり、 $Λ^{'}$ は $Λ_{2 i}$ と相似なので $j (C / Λ^{'}) = j (2 i)$ 。よって $E$ を部分群 ${O, (1, 0)}$ で割った曲線 $E^{'}$ の $j$ 不変量を求めればよい（ $E^{'}$ の自己準同型環は $Z [2 i]$ で、判別式 $- 16$ の虚数乗法をもつ）。

3. 2 次同種写像（ヴェルーの公式）. $x \mapsto x + 1$ と平行移動すると
$E : y^{2} = (x + 1)^{3} - (x + 1) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = x (x^{2} + 3 x + 2)$
となり、 $(1, 0)$ は $(0, 0)$ に移る。一般に $y^{2} = x (x^{2} + a x + b)$ を ${O, (0, 0)}$ で割った曲線は
$Y^{2} = X (X^{2} - 2 a X + (a^{2} - 4 b))$
で与えられる。 $a = 3$ , $b = 2$ を代入して
$E^{'} : Y^{2} = X (X^{2} - 6 X + 1) = X^{3} - 6 X^{2} + X .$

4. $j$ 不変量の計算. $y^{2} = x (x^{2} + a x + b)$ の $j$ 不変量は
$j = \frac{256 ( a ^{2} - 3 b ) ^{3}}{b ^{2} ( a ^{2} - 4 b )}$
である（ $b_{2} = 4 a$ , $b_{4} = 2 b$ , $b_{6} = 0$ , $b_{8} = - b^{2}$ から $c_{4} = 16 (a^{2} - 3 b)$ , $Δ = 16 b^{2} (a^{2} - 4 b)$ 、 $j = c_{4}^{3} /Δ$ ）。 $E^{'}$ では $a = - 6$ , $b = 1$ なので $a^{2} - 3 b = 33$ , $a^{2} - 4 b = 32$ であり
$j (E^{'}) = \frac{256 \cdot 3 3 ^{3}}{1 \cdot 32} = 8 \cdot 35937 = 287496.$

（検算: $E$ 自身に同じ公式を使うと $a = 3, b = 2$ で $\frac{256 \cdot 3 ^{3}}{4 \cdot 1} = 1728$ となり $j (i) = 1728$ と一致する。）

したがって $j (2 i) = 287496 (= 6 6^{3})$ 。

別解

$E : y^{2} = x^{3} - x$ は格子 $Λ_{i} = Z + Z i$ に対応する（ $j = 1728$ ）。 $Λ_{i}$ の指数 2 の超格子/部分格子は $Z + 2 i Z$ , $2 Z + i Z$ , $⟨ 1 + i, 2 ⟩$ の 3 つで、それぞれ $E$ の位数 2 の部分群 $⟨(0, 0)⟩, ⟨(1, 0)⟩, ⟨(- 1, 0)⟩$ による商 $E / C$ に対応する。 $j (Z + 2 i Z) = j (2 i)$ 、 $j (2 Z + i Z) = j (i /2) = j (2 i)$ （ $τ \to - 1/ τ$ で不変）、 $⟨ 1 + i, 2 ⟩$ は $Λ_{i}$ と相似で $j = 1728$ 。
$C = ⟨(1, 0)⟩$ を選ぶ。 $x \to x + 1$ で $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ （ $a = 3, b = 2$ ）。 $y^{2} = x^{3} + a x^{2} + b x$ の 2 次の同種による商は $y^{2} = x^{3} - 2 a x^{2} + (a^{2} - 4 b) x$ なので $y^{2} = x^{3} - 6 x^{2} + x$ 。
$y^{2} = x^{3} + a x^{2} + b x$ の $j$ 不変量は $j = \frac{256 ( a ^{2} - 3 b ) ^{3}}{b ^{2} ( a ^{2} - 4 b )}$ 。 $a = - 6, b = 1$ とすると
$j = \frac{256 \cdot ( 36 - 3 ) ^{3}}{1 \cdot ( 36 - 4 )} = \frac{256 \cdot 35937}{32} = 8 \cdot 35937 = 287496$ 。
（ $= 6 6^{3}$ 。この値は $j (2 i) = 287496$ として知られた値と一致する。）
検算: 同じ公式を $y^{2} = x^{3} - x$ （ $a = 0, b = - 1$ ）に使うと $256 \cdot 27/ (1 \cdot 4) = 1728$ で、 $j (i) = 1728$ と一致。

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