楕円関数・モジュラー形式の問題

整数であること. ${\tau }_0$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-43})$ の整数環 ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[{\tau }_0]$ に対応する格子 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}{\tau }_0$ を与えるので、楕円曲線 $\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}{\tau }_0)$ は ${\mathcal{O}}_K$ による虚数乗法をもつ。虚数乗法の理論により $j({\tau }_0)$ は代数的整数で、$\mathbb{Q}$ 上の次数は類数 $h(-43)=1$ に等しい。よって $j({\tau }_0)\in \mathbb{Z}$ である。（実際、$-\overline{{\tau }_0}=\frac{-1+\sqrt{-43}}{2}={\tau }_0-1$ であり、$j(-\bar{\tau })=\overline{j(\tau )}$ と $j(\tau -1)=j(\tau )$ から $j({\tau }_0)$ が実数であることも確かめられる。）

$q$ の値. $q=e^{2\pi i{\tau }_0}=e^{\pi i}{e}^{-\pi \sqrt{43}}=-e^{-\pi \sqrt{43}}$。$N:=e^{\pi \sqrt{43}}\approx 8.85\times 10^8$ とおくと $q=-1/N$ である。

近似.
$$j({\tau }_0)=-N+744-\frac{196884}{N}+\sum _{n\ge 2}c(n)q^n.$$
ここで
$$\frac{196884}{N}=\frac{196884}{884736743.99977746\cdots }=0.000222533\cdots \approx 2.2253\times 10^{-4}.$$
残りの項は $|c(n)q^n|\le e^{4\pi \sqrt{n}-n\pi \sqrt{43}}$ と評価できる。$\pi \sqrt{43}\approx 20.60$ より、$n\ge 2$ では指数は $4\pi \sqrt{n}-20.60n\le 4\pi \sqrt{2}-41.20\approx -23.4$ 以下で、$n$ が $1$ 増えるごとに少なくとも約 $17$ ずつ減少する。したがって $\left|{\sum }_{n\ge 2}c(n)q^n\right|<10^{-9}$ である。

よって
$$j({\tau }_0)=-884736743.99977746\cdots +744-0.000222533\cdots +(\text{ごく小さい量})$$
で、$-884736743.99977746+744=-884735999.99977746$、$0.99977746+0.00022253=0.99999999$ より
$$j({\tau }_0)=-884735999.99999999\cdots +(\text{ごく小さい量})$$
となる。与えられた $N$ の数値の誤差（$10^{-8}$ 未満）と残りの項（$10^{-9}$ 未満）を合わせても、$j({\tau }_0)$ と $-884736000$ の差は $10^{-7}$ 未満である。$j({\tau }_0)$ は整数なので
$$j({\tau }_0)=-884736000.$$
（実際 $-884736000=-960^3$ である。）

類数 $h(-43)=1$ なので、${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$（判別式 $-43$ の order の CM 点）について $j({\tau }_0)$ は有理整数である（虚数乗法論: $j({\tau }_0)$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-43})$ 上の類体 = 自身の上の代数的整数で、その共役の個数は類数 $h=1$ なので、有理数かつ代数的整数、よって整数）。

次に値を評価する。$q=e^{2\pi i{\tau }_0}=e^{\pi i}{e}^{-\pi \sqrt{43}}=-e^{-\pi \sqrt{43}}$。$N=e^{\pi \sqrt{43}}=884736743.99977746\cdots$ とおくと $q=-1/N$、$|q|<1.2\times 10^{-9}$。

$1/q=-N=-884736743.99977746\cdots$ なので
$$\frac{1}{q}+744=-884735999.99977746\cdots$$

残りの項は $\left|{\sum }_{n\ge 1}c(n)q^n\right|\le {\sum }_{n\ge 1}{e}^{4\pi \sqrt{n}}|q{|}^n$。$n=1$ の項は $196884\cdot 1.13\times 10^{-9}\approx 2.2\times 10^{-4}$ で、$q$ が負なので符号は負、$c(1)q\approx -0.000222$。$n\ge 2$ の項は $c(2)|q{|}^2\approx 21493760\times 1.28\times 10^{-18}\approx 2.8\times 10^{-11}$ 以下で、上の評価 $e^{4\pi \sqrt{n}}|q{|}^n$ を用いても $n\ge 2$ の和は $1$ より十分小さい（$e^{4\pi \sqrt{2}}\approx 5.2\times 10^7$ に $|q{|}^2$ を掛けても $10^{-10}$ 程度で、以降さらに急速に減少）。

したがって
$$j({\tau }_0)=-884735999.99977746\cdots -0.000222\cdots +(\text{ほぼ }0)=-884736000.0000\cdots$$
となり、整数であることから $j({\tau }_0)=-884736000$。

検算: $960^3=884736000$ であり、$-960^3=-884736000$ は既知の値 $j\left(\frac{1+\sqrt{-43}}{2}\right)=-960^3$ と一致する。