虚数乗法と類数 1 の j の値

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$j(\tau )=q^{-1}+744+\sum _{n\ge 1}{c}_n{q}^n,c_1=196884,c_2=21493760,\dots$$
と展開される（$c_n$ は正の整数）。虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数は $1$ であり、虚数乗法の理論により ${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ に対して $j({\tau }_0)$ は整数になる。

$e^{\pi \sqrt{19}}=885479.7777\cdots$ であることを用いて、整数 $j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて $$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{q}^n(c_n\in \mathbb{Z},c_1=196884)$$ と展開される。${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$（$\sqrt{-67}=i\sqrt{67}$）とする。虚数乗法の理論により、判別式 $-67$ の虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-67})$ の類数が $1$ であることから $j({\tau }_0)$ は整数であり、実際 $$j({\tau }_0)=-5280^3$$ であることが知られている。また $\tau ={\tau }_0$ のとき $$\left|\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{q}^n\right|<\frac{1}{10}$$ が成り立つことも用いてよい。実数 $e^{\pi \sqrt{67}}$ に最も近い整数を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n(c(n)\in \mathbb{Z},c(1)=196884)$$
と $q$ 展開される（$j(i)=1728$ と正規化されたもの）。

${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ とする（$\sqrt{-19}=\sqrt{19}i$）。${\tau }_0$ は虚数乗法をもつ点であり、虚 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数が $1$ であることから、虚数乗法の理論により $j({\tau }_0)$ は有理整数であることが知られている。このことと、次の 2 つの事実を用いてよい。

• $e^{\pi \sqrt{19}}=885479.7776\cdots$
• $\tau ={\tau }_0$ に対応する $q$ について $\left|\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n\right|<\frac{1}{2}$

このとき、$j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}:\mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ として
$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n,c(1)=196884,c(2)=21493760,\dots$$
と展開され、係数 $c(n)$ はすべて正の整数で $c(n)\le e^{4\pi \sqrt{n}}$ を満たす。${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$ とする。虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-43})$ の類数が $1$ であること、および $e^{\pi \sqrt{43}}=884736743.99977746\cdots$ を用いて、$j({\tau }_0)$ の値を求めよ。