ワイエルシュトラスの ℘ 関数と不変量 g₂, g₃

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で $\mathbb{Z}$ 上生成される加法部分群）とする。整数 $k\ge 2$ に対して $$G_{2k}=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$ とおき、不変量を $g_2=60G_4$, $g_3=140G_6$ で定める。$\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの ℘ 関数 $$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$ の $z=0$ におけるローラン展開が $$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{5}{z}^2+\frac{1}{7}{z}^4+O(z^6)$$ であったとする。このとき、判別式 $g_2^3-27g_3^2$ の値を求めよ。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、$\wp (z)=\wp (z;\Lambda )$ を $\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの $\wp$ 関数
$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$
とする。不変量を $g_2=60{\sum }_{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}{\omega }^{-4}$, $g_3=140{\sum }_{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}{\omega }^{-6}$ と定めると、$\wp$ は微分方程式
$${\wp }^{\prime }(z{)}^2=4\wp (z{)}^3-g_2\wp (z)-g_3$$
を満たす。いま、$\Lambda$ の不変量が $g_2=4$, $g_3=8$ であり、点 $z_0\in \mathbb{C}\setminus \Lambda$ が $\wp (z_0)=2$, ${\wp }^{\prime }(z_0)=4$ を満たすとする。このとき $\wp (2z_0)$ の値を求めよ。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を階数 $2$ の格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な $2$ つの複素数で $\mathbb{Z}$ 上生成される離散部分群）とし、$\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの $\wp$ 関数を
$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$
で定める。また整数 $k\ge 2$ に対して、アイゼンシュタイン級数を
$$G_{2k}=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$
とおく（この級数は絶対収束する）。この格子 $\Lambda$ について、$\wp$ が微分方程式
$$({\wp }^{\prime }(z){)}^2=4\wp (z{)}^3-28\wp (z)-24$$
を満たすとする。このとき $G_{10}$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ を、格子 ${\Lambda }_{\tau }=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ の不変量 $g_2,g_3$ を用いて
$$j(\tau )=1728\cdot \frac{g_2({\Lambda }_{\tau }{)}^3}{g_2({\Lambda }_{\tau }{)}^3-27g_3({\Lambda }_{\tau }{)}^2}$$
で定める（したがって $j(i)=1728$ である）。また、$\mathbb{C}$ 上の楕円曲線 $y^2=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$ の $j$ 不変量は、対応する格子 $\Lambda$（$E(\mathbb{C})\cong \mathbb{C}/\Lambda$）について $1728g_2^3/(g_2^3-27g_3^2)$ に等しい。

楕円曲線 $E:y^2=x^3-x$ を用いて、$j(2i)$ の値を求めよ。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、$\wp (z)=\wp (z;\Lambda )$ を $\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの $\wp$ 関数
$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$
とする。$\Lambda$ の 0 でない半周期（$\frac{1}{2}\Lambda$ の元で $\Lambda$ に属さないもの）を $\Lambda$ を法として代表する 3 点 $u_1,u_2,u_3$ における値が
$$\wp (u_1)=1,\wp (u_2)=2,\wp (u_3)=-3$$
であるとする。整数 $k\ge 2$ に対してアイゼンシュタイン級数を
$$G_{2k}(\Lambda )=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$
で定める（絶対収束する）。$G_{12}(\Lambda )$ の値を求めよ。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、$\wp (z)=\wp (z;\Lambda )$ を $\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの $\wp$ 関数とする。$\Lambda$ は $i\Lambda =\Lambda$ を満たし、さらにある $\omega \in \Lambda$（ただし $\omega /2\notin \Lambda$）について $\wp (\omega /2)=1$ が成り立つとする。このとき、絶対収束する級数
$$G_{16}(\Lambda )=\sum _{\lambda \in \Lambda ,\lambda \ne 0}\frac{1}{{\lambda }^{16}}$$
の値を求めよ。

ガウス整数のなす格子 $\Lambda =\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i\subset \mathbb{C}$ を考える。整数 $k\ge 2$ に対してアイゼンシュタイン級数を
$$G_{2k}=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$
と定める（絶対収束する）。$\wp (z)$ を $\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの ℘ 関数とし、$g_2=60G_4$, $g_3=140G_6$ とする。このとき $G_4\ne 0$ であり、ある有理数 $r$ が存在して
$$G_{16}=r{G}_4^4$$
が成り立つ。$r$ を求めよ。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、整数 $k\ge 2$ に対してアイゼンシュタイン級数を $$G_{2k}=G_{2k}(\Lambda )=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$ で定め、$g_2=60G_4$, $g_3=140G_6$ とおく。ワイエルシュトラスの ℘ 関数 $$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$ は微分方程式 $({\wp }^{\prime }{)}^2=4{\wp }^3-g_2\wp -g_3$ を満たす。$G_{12}$ を $g_2,g_3$ の多項式として表せ（この多項式は格子 $\Lambda$ によらない）。