楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

$Λ \subset C$ を階数 $2$ の格子（ $R$ 上一次独立な $2$ つの複素数で $Z$ 上生成される離散部分群）とし、 $Λ$ に関するワイエルシュトラスの $℘$ 関数を
$℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + ω \in Λ ∖ {0} \sum (\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}})$
で定める。また整数 $k \geq 2$ に対して、アイゼンシュタイン級数を
$G_{2 k} = ω \in Λ ∖ {0} \sum \frac{1}{ω ^{2 k}}$
とおく（この級数は絶対収束する）。この格子 $Λ$ について、 $℘$ が微分方程式
$(℘^{'} (z))^{2} = 4 ℘ (z)^{3} - 28 ℘ (z) - 24$
を満たすとする。このとき $G_{10}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ワイエルシュトラスの ℘ 関数と不変量 g₂, g₃（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$℘$ を $z = 0$ のまわりでローラン展開し、その係数をアイゼンシュタイン級数 $G_{2 k}$ で表してみよう。 $G_{10}$ は $z^{8}$ の係数に現れる。

ヒント 2

$℘ (z) = z^{- 2} + \sum_{k \geq 1} (2 k + 1) G_{2 k + 2} z^{2 k}$ を微分方程式 $(℘^{'})^{2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ や、それを微分した $℘^{''} = 6 ℘^{2} - g_{2} /2$ に代入して係数を比較する。 $z^{8}$ の係数は $9 G_{10}$ であることに注意。

ヒント 3

$z^{2}$ の係数を $a_{1}$ 、 $z^{4}$ の係数を $a_{2}$ とすると $a_{1} = g_{2} /20 = 7/5$ 、 $a_{2} = g_{3} /28 = 6/7$ 。さらに $℘^{''} = 6 ℘^{2} - g_{2} /2$ の $z^{6}$ の係数を比較すると $a_{4} = 3 a_{1} a_{2} /11$ が得られる。

答えと解説

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\frac{2}{55}

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解説を読む

1. $℘$ のローラン展開. $∣ z ∣ < ∣ ω ∣$ のとき
$\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} = \frac{1}{ω ^{2}} \cdot \frac{1}{( 1 - z / ω ) ^{2}} = n = 0 \sum \infty \frac{( n + 1 ) z ^{n}}{ω ^{n + 2}}$
なので
$\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}} = n = 1 \sum \infty \frac{( n + 1 ) z ^{n}}{ω ^{n + 2}}$
である。 $Λ = - Λ$ より奇数乗の和 $\sum_{ω \neq = 0} ω^{- (2 m + 1)}$ （ $2 m + 1 \geq 3$ ）は打ち消し合って $0$ になる。 $n = 2 k$ の項を集めると、 $0$ の近くで
$℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + k = 1 \sum \infty a_{k} z^{2 k}, a_{k} = (2 k + 1) G_{2 k + 2}$
が成り立つ。たとえば $a_{1} = 3 G_{4}$ 、 $a_{2} = 5 G_{6}$ であり、 $z^{8}$ の係数は $n = 8$ の項から $a_{4} = 9 G_{10}$ 。よって $G_{10} = a_{4} /9$ である。

2. $a_{1}, a_{2}$ を求める. $g_{2} = 28, g_{3} = 24$ とおく。 $℘^{'} (z) = - 2 z^{- 3} + 2 a_{1} z + 4 a_{2} z^{3} + \dots$ より
$(℘^{'})^{2} = 4 z^{- 6} - 8 a_{1} z^{- 2} - 16 a_{2} + O (z^{2}) .$
一方
$4 ℘^{3} = 4 z^{- 6} + 12 a_{1} z^{- 2} + 12 a_{2} + O (z^{2}), ℘ = z^{- 2} + O (z^{2}) .$
$(℘^{'})^{2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ の両辺の $z^{- 2}$ の係数と定数項を比べて
$- 8 a_{1} = 12 a_{1} - g_{2}, - 16 a_{2} = 12 a_{2} - g_{3}$
よって $a_{1} = \frac{g _{2}}{20} = \frac{7}{5}$ 、 $a_{2} = \frac{g _{3}}{28} = \frac{6}{7}$ 。
（これより $G_{4} = a_{1} /3 = 7/15$ 、 $G_{6} = a_{2} /5 = 6/35$ で、 $g_{2} = 60 G_{4}$ 、 $g_{3} = 140 G_{6}$ と一致する。）

3. 漸化式. 微分方程式を $z$ で微分すると $2 ℘^{'} ℘^{''} = 12 ℘^{2} ℘^{'} - g_{2} ℘^{'}$ 。 $℘^{'}$ は恒等的に $0$ でないので割って $℘^{''} = 6 ℘^{2} - \frac{g _{2}}{2}$ 。
$℘^{''} = 6 z^{- 4} + k \geq 1 \sum 2 k (2 k - 1) a_{k} z^{2 k - 2},$
$℘^{2} = z^{- 4} + 2 k \geq 1 \sum a_{k} z^{2 k - 2} + i, j \geq 1 \sum a_{i} a_{j} z^{2 (i + j)}$
の $z^{2 k - 2}$ （ $k \geq 3$ ）の係数を比べると
$2 k (2 k - 1) a_{k} = 12 a_{k} + 6 i + j = k - 1 i, j \geq 1 \sum a_{i} a_{j} .$
$k = 3$ （ $z^{4}$ の係数）： $30 a_{3} = 12 a_{3} + 6 a_{1}^{2}$ より $a_{3} = \frac{a _{1}^{2}}{3} = \frac{49}{75}$ 。
$k = 4$ （ $z^{6}$ の係数）： $i + j = 3$ となる組は $(1, 2), (2, 1)$ なので $56 a_{4} = 12 a_{4} + 6 \cdot 2 a_{1} a_{2}$ 、すなわち $44 a_{4} = 12 a_{1} a_{2}$ より
$a_{4} = \frac{3 a _{1} a _{2}}{11} = \frac{3}{11} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{6}{7} = \frac{18}{55} .$

4. 結論.
$G_{10} = \frac{a _{4}}{9} = \frac{1}{9} \cdot \frac{18}{55} = \frac{2}{55} .$

検算. $a_{4} = \frac{3 a _{1} a _{2}}{11}$ に $a_{1} = 3 G_{4}, a_{2} = 5 G_{6}, a_{4} = 9 G_{10}$ を代入すると $9 G_{10} = \frac{45}{11} G_{4} G_{6}$ 、すなわち $G_{10} = \frac{5}{11} G_{4} G_{6}$ を得る。この関係式は格子 $Z + Z τ$ で $τ \to i \infty$ とした極限（ $G_{2 k} \to 2 ζ (2 k)$ ）でも確かめられる： $ζ (4) = \frac{π ^{4}}{90}, ζ (6) = \frac{π ^{6}}{945}, ζ (10) = \frac{π ^{10}}{93555}$ より
$\frac{2 ζ ( 10 )}{2 ζ ( 4 ) \cdot 2 ζ ( 6 )} = \frac{2 \cdot 90 \cdot 945}{4 \cdot 93555} = \frac{170100}{374220} = \frac{5}{11} .$
よって $G_{10} = \frac{5}{11} \cdot \frac{7}{15} \cdot \frac{6}{35} = \frac{5}{11} \cdot \frac{2}{25} = \frac{2}{55}$ となり、上の結果と一致する。

別解

標準的な関係式 $(℘^{'})^{2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ （ $g_{2} = 60 G_{4}, g_{3} = 140 G_{6}$ ）と比べると、 $g_{2} = 28, g_{3} = 24$ である。したがって $G_{4} = \frac{28}{60} = \frac{7}{15}$ 、 $G_{6} = \frac{24}{140} = \frac{6}{35}$ となる。

$℘ (z) = z^{- 2} + \sum_{k \geq 2} c_{k} z^{2 k - 2}$ 、 $c_{k} = (2 k - 1) G_{2 k}$ とおく。微分方程式から、 $k \geq 4$ で漸化式
$c_{k} = \frac{3}{( 2 k + 1 ) ( k - 3 )} m = 2 \sum k - 2 c_{m} c_{k - m}$
が成り立つ。

$k = 5$ の場合、和は $m = 2, 3$ の 2 項で、 $c_{2} c_{3} + c_{3} c_{2} = 2 c_{2} c_{3}$ となる。したがって
$c_{5} = \frac{3}{11 \cdot 2} \cdot 2 c_{2} c_{3} = \frac{3}{11} c_{2} c_{3} .$
ここで $c_{2} = 3 G_{4}$ 、 $c_{3} = 5 G_{6}$ 、 $c_{5} = 9 G_{10}$ なので
$9 G_{10} = \frac{3}{11} \cdot 15 G_{4} G_{6} \Rightarrow G_{10} = \frac{5}{11} G_{4} G_{6} .$

$G_{4} G_{6} = \frac{7}{15} \cdot \frac{6}{35} = \frac{2}{25}$ を代入すると
$G_{10} = \frac{5}{11} \cdot \frac{2}{25} = \frac{2}{55} .$

検算として、 $k = 4$ で同じ漸化式を使うと $G_{8} = \frac{3}{7} G_{4}^{2}$ となり、これは既知の関係式と一致する。

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