楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

$Λ \subset C$ を格子（ $R$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、整数 $k \geq 2$ に対してアイゼンシュタイン級数を $G_{2 k} = G_{2 k} (Λ) = ω \in Λ ∖ {0} \sum \frac{1}{ω ^{2 k}}$ で定め、 $g_{2} = 60 G_{4}$ , $g_{3} = 140 G_{6}$ とおく。ワイエルシュトラスの ℘ 関数 $℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + ω \in Λ ∖ {0} \sum (\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}})$ は微分方程式 $(℘^{'})^{2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ を満たす。 $G_{12}$ を $g_{2}, g_{3}$ の多項式として表せ（この多項式は格子 $Λ$ によらない）。

この問題で使うもの

ワイエルシュトラスの ℘ 関数と不変量 g₂, g₃（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$℘ (z) = z^{- 2} + \sum_{k \geq 1} (2 k + 1) G_{2 k + 2} z^{2 k}$ と展開できる。 $G_{12}$ は $z^{10}$ の係数の $\frac{1}{11}$ である。

ヒント 2

微分方程式を微分すると $℘^{''} = 6 ℘^{2} - \frac{g _{2}}{2}$ 。 $c_{k} = (2 k + 1) G_{2 k + 2}$ とおいて係数を比べると、 $k \geq 3$ で $c_{k} = \frac{3}{( 2 k + 3 ) ( k - 2 )} \sum_{m + n = k - 1} c_{m} c_{n}$ が得られる。

ヒント 3

$c_{1} = \frac{g _{2}}{20}$ , $c_{2} = \frac{g _{3}}{28}$ , $c_{3} = \frac{g _{2}^{2}}{1200}$ であり、 $c_{5} = \frac{1}{13} (2 c_{1} c_{3} + c_{2}^{2})$ となる。

答えと解説

答えを見る

\frac{g _{2}^{3}}{1716000} + \frac{g _{3}^{2}}{112112}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

ローラン展開. $z = 0$ の近くで $\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}} = \sum_{n \geq 1} (n + 1) \frac{z ^{n}}{ω ^{n + 2}}$ であり、 $Λ = - Λ$ より奇数べきの和は打ち消し合うので
$℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + k \geq 1 \sum c_{k} z^{2 k}, c_{k} = (2 k + 1) G_{2 k + 2} .$
特に $c_{1} = 3 G_{4} = \frac{g _{2}}{20}$ , $c_{2} = 5 G_{6} = \frac{g _{3}}{28}$ , $c_{5} = 11 G_{12}$ 。

2 階の微分方程式. $(℘^{'})^{2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ を微分して $2 ℘^{'} ℘^{''} = (12 ℘^{2} - g_{2}) ℘^{'}$ 。 $℘^{'}$ は恒等的に $0$ ではないので
$℘^{''} = 6 ℘^{2} - \frac{g _{2}}{2} .$

係数比較.
$℘^{''} = \frac{6}{z ^{4}} + k \geq 1 \sum 2 k (2 k - 1) c_{k} z^{2 k - 2},$
$℘^{2} = \frac{1}{z ^{4}} + 2 k \geq 1 \sum c_{k} z^{2 k - 2} + m, n \geq 1 \sum c_{m} c_{n} z^{2 (m + n)} .$
$z^{2 k - 2}$ の係数を比べると、 $k \geq 3$ のとき
$2 k (2 k - 1) c_{k} = 12 c_{k} + 6 m + n = k - 1 m, n \geq 1 \sum c_{m} c_{n},$
$2 k (2 k - 1) - 12 = 2 (2 k + 3) (k - 2)$ より
$c_{k} = \frac{3}{( 2 k + 3 ) ( k - 2 )} m + n = k - 1 m, n \geq 1 \sum c_{m} c_{n} (k \geq 3) .$
（ $k = 1$ の比較 $2 c_{1} = 12 c_{1} - \frac{g _{2}}{2}$ からも $c_{1} = \frac{g _{2}}{20}$ が確かめられる。）

順に計算.
- $c_{3} = \frac{3}{9 \cdot 1} c_{1}^{2} = \frac{c _{1}^{2}}{3} = \frac{g _{2}^{2}}{1200}$
- $c_{4} = \frac{3}{11 \cdot 2} \cdot 2 c_{1} c_{2} = \frac{3 c _{1} c _{2}}{11}$ （ここでは使わない）
- $c_{5} = \frac{3}{13 \cdot 3} (2 c_{1} c_{3} + c_{2}^{2}) = \frac{1}{13} (2 \cdot \frac{g _{2}}{20} \cdot \frac{g _{2}^{2}}{1200} + \frac{g _{3}^{2}}{784}) = \frac{1}{13} (\frac{g _{2}^{3}}{12000} + \frac{g _{3}^{2}}{784})$

$G_{12}$ . $G_{12} = \frac{c _{5}}{11}$ なので
$G_{12} = \frac{1}{143} (\frac{g _{2}^{3}}{12000} + \frac{g _{3}^{2}}{784}) = \frac{g _{2}^{3}}{1716000} + \frac{g _{3}^{2}}{112112} .$

検算. $Λ = Z + Z τ$ では $G_{2 k} = 2 ζ (2 k) E_{2 k}$ で、 $g_{2} = \frac{4 π ^{4}}{3} E_{4}$ , $g_{3} = \frac{8 π ^{6}}{27} E_{6}$ 。上の式に代入すると $G_{12} = \frac{2 π ^{12}}{638512875} (441 E_{4}^{3} + 250 E_{6}^{2})$ となり、 $ζ (12) = \frac{691 π ^{12}}{638512875}$ と既知の関係式 $691 E_{12} = 441 E_{4}^{3} + 250 E_{6}^{2}$ に一致する。

答えは $\frac{g _{2}^{3}}{1716000} + \frac{g _{3}^{2}}{112112}$ 。

別解

原点のまわりのローラン展開は
$℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + n \geq 2 \sum c_{n} z^{2 n - 2}, c_{n} = (2 n - 1) G_{2 n}$
である（ $\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}} = \sum_{m \geq 1} (m + 1) \frac{z ^{m}}{ω ^{m + 2}}$ を和にとると奇数次は打ち消し合う）。

微分方程式 $(℘^{'})^{2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ を微分して $℘^{'}$ で割ると $℘^{''} = 6 ℘^{2} - \frac{g _{2}}{2}$ 。両辺の $z^{2 n - 4}$ の係数を比べると（ $n \geq 3$ ）
$(2 n - 2) (2 n - 3) c_{n} = 12 c_{n} + 6 m = 2 \sum n - 2 c_{m} c_{n - m}$
$(2 n - 2) (2 n - 3) - 12 = 2 (2 n + 1) (n - 3)$ より
$c_{n} = \frac{3}{( 2 n + 1 ) ( n - 3 )} m = 2 \sum n - 2 c_{m} c_{n - m} (n \geq 4) .$

初期値: $c_{2} = 3 G_{4} = \frac{g _{2}}{20}$ , $c_{3} = 5 G_{6} = \frac{g _{3}}{28}$ 。
- $c_{4} = \frac{3}{9 \cdot 1} c_{2}^{2} = \frac{c _{2}^{2}}{3} = \frac{g _{2}^{2}}{1200}$
- $c_{5} = \frac{3}{11 \cdot 2} \cdot 2 c_{2} c_{3} = \frac{3 c _{2} c _{3}}{11} = \frac{3 g _{2} g _{3}}{6160}$
- $c_{6} = \frac{3}{13 \cdot 3} (2 c_{2} c_{4} + c_{3}^{2}) = \frac{1}{13} (\frac{g _{2}^{3}}{12000} + \frac{g _{3}^{2}}{784})$

$c_{6} = 11 G_{12}$ より
$G_{12} = \frac{1}{143} (\frac{g _{2}^{3}}{12000} + \frac{g _{3}^{2}}{784}) = \frac{g _{2}^{3}}{1716000} + \frac{g _{3}^{2}}{112112} .$

検算: $g_{2} = 60 G_{4}$ , $g_{3} = 140 G_{6}$ を代入すると $\frac{216000}{1716000} G_{4}^{3} + \frac{19600}{112112} G_{6}^{2} = \frac{18 G _{4}^{3} + 25 G _{6}^{2}}{143}$ となり、既知の関係 $143 G_{12} = 18 G_{4}^{3} + 25 G_{6}^{2}$ と一致する。また同じ漸化式から $G_{8} = \frac{3}{7} G_{4}^{2}$ が出ることも既知の結果と一致する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる