楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

$Λ \subset C$ を格子（ $R$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、 $℘ (z) = ℘ (z; Λ)$ を $Λ$ に関するワイエルシュトラスの $℘$ 関数
$℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + ω \in Λ ∖ {0} \sum (\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}})$
とする。 $Λ$ の 0 でない半周期（ $\frac{1}{2} Λ$ の元で $Λ$ に属さないもの）を $Λ$ を法として代表する 3 点 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ における値が
$℘ (u_{1}) = 1, ℘ (u_{2}) = 2, ℘ (u_{3}) = - 3$
であるとする。整数 $k \geq 2$ に対してアイゼンシュタイン級数を
$G_{2 k} (Λ) = ω \in Λ ∖ {0} \sum \frac{1}{ω ^{2 k}}$
で定める（絶対収束する）。 $G_{12} (Λ)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ワイエルシュトラスの ℘ 関数と不変量 g₂, g₃（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

半周期では $℘^{'} = 0$ となることから、 $℘ (u_{i})$ が $4 x^{3} - g_{2} x - g_{3}$ の根であることを使って $g_{2}, g_{3}$ を決めましょう。次に $℘$ のローラン展開の係数を $G_{2 k}$ で表しましょう。

ヒント 2

$℘ (z) = z^{- 2} + \sum_{k \geq 1} c_{k} z^{2 k}$ とすると $c_{k} = (2 k + 1) G_{2 k + 2}$ です。微分方程式を微分した $℘^{''} = 6 ℘^{2} - g_{2} /2$ の係数比較から $c_{n} = \frac{3}{( 2 n + 3 ) ( n - 2 )} \sum_{m = 1}^{n - 2} c_{m} c_{n - 1 - m}$ $(n \geq 3)$ が得られます。

ヒント 3

$g_{2} = 28$ , $g_{3} = - 24$ なので $c_{1} = \frac{7}{5}$ , $c_{2} = - \frac{6}{7}$ , $c_{3} = \frac{49}{75}$ です。 $c_{5} = \frac{1}{13} (2 c_{1} c_{3} + c_{2}^{2})$ を計算し、 $G_{12} = c_{5} /11$ とします。

答えと解説

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\frac{47114}{2627625}

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解説を読む

1. 不変量 $g_{2}, g_{3}$ を求める。

$℘$ は微分方程式
$℘^{'} (z)^{2} = 4 ℘ (z)^{3} - g_{2} ℘ (z) - g_{3}, g_{2} = 60 G_{4} (Λ), g_{3} = 140 G_{6} (Λ)$
を満たす。 $℘^{'}$ は奇関数かつ $Λ$ 周期なので、半周期 $u$ では $℘^{'} (u) = - ℘^{'} (- u) = - ℘^{'} (u)$ より $℘^{'} (u) = 0$ 。したがって $e_{i} = ℘ (u_{i})$ は 3 次多項式 $4 x^{3} - g_{2} x - g_{3}$ の根であり、これらは相異なることが知られているので
$4 x^{3} - g_{2} x - g_{3} = 4 (x - 1) (x - 2) (x + 3) = 4 (x^{3} - 7 x + 6) = 4 x^{3} - 28 x + 24.$
よって $g_{2} = 28, g_{3} = - 24$ 。（ $e_{1} + e_{2} + e_{3} = 0$ も確かに成り立っている。）

2. ローラン展開の係数とアイゼンシュタイン級数の関係。

$∣ z ∣$ が小さいとき $\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}} = \sum_{n \geq 1} (n + 1) \frac{z ^{n}}{ω ^{n + 2}}$ であり、奇数次の項は $ω$ と $- ω$ で打ち消し合うので
$℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + k \geq 1 \sum c_{k} z^{2 k}, c_{k} = (2 k + 1) G_{2 k + 2} (Λ) .$
特に $c_{1} = 3 G_{4} = \frac{g _{2}}{20}$ , $c_{2} = 5 G_{6} = \frac{g _{3}}{28}$ , そして $c_{5} = 11 G_{12}$ 。

3. 係数の漸化式。

微分方程式を微分して $2 ℘^{'} ℘^{''} = (12 ℘^{2} - g_{2}) ℘^{'}$ 、すなわち $℘^{''} = 6 ℘^{2} - \frac{g _{2}}{2}$ 。両辺の $z^{2 n - 2}$ $(n \geq 3)$ の係数を比べる。
$℘^{''} = \frac{6}{z ^{4}} + k \geq 1 \sum 2 k (2 k - 1) c_{k} z^{2 k - 2}, ℘^{2} = \frac{1}{z ^{4}} + 2 k \geq 1 \sum c_{k} z^{2 k - 2} + m, l \geq 1 \sum c_{m} c_{l} z^{2 (m + l)}$
より
$2 n (2 n - 1) c_{n} = 12 c_{n} + 6 m = 1 \sum n - 2 c_{m} c_{n - 1 - m},$
$2 n (2 n - 1) - 12 = 2 (2 n + 3) (n - 2)$ なので
$c_{n} = \frac{3}{( 2 n + 3 ) ( n - 2 )} m = 1 \sum n - 2 c_{m} c_{n - 1 - m} (n \geq 3) .$

4. 計算。

$c_{1} = \frac{28}{20} = \frac{7}{5}, c_{2} = \frac{- 24}{28} = - \frac{6}{7} .$
$n = 3$ : $c_{3} = \frac{3}{9 \cdot 1} c_{1}^{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{49}{25} = \frac{49}{75}$ 。

$n = 5$ : $c_{5} = \frac{3}{13 \cdot 3} (c_{1} c_{3} + c_{2}^{2} + c_{3} c_{1}) = \frac{1}{13} (2 c_{1} c_{3} + c_{2}^{2})$ 。ここで
$2 c_{1} c_{3} = 2 \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{49}{75} = \frac{686}{375}, c_{2}^{2} = \frac{36}{49},$
$2 c_{1} c_{3} + c_{2}^{2} = \frac{686 \cdot 49 + 36 \cdot 375}{18375} = \frac{33614 + 13500}{18375} = \frac{47114}{18375} .$
よって
$c_{5} = \frac{47114}{18375 \cdot 13} = \frac{47114}{238875} .$
（一般式 $c_{5} = \frac{g _{2}^{3}}{156000} + \frac{g _{3}^{2}}{10192}$ に $g_{2} = 28, g_{3} = - 24$ を代入しても同じ値になる。）

5. 結論。
$G_{12} (Λ) = \frac{c _{5}}{11} = \frac{47114}{2627625} .$
$47114 = 2 \cdot 23557$ で、 $2627625 = 3 \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 13$ のどの素因数でも $47114$ は割り切れないので、これが既約分数である。

別解

半周期での値 $e_{1} = 1, e_{2} = 2, e_{3} = - 3$ （和は $0$ で $℘$ の条件と整合する）を用いる。

$℘^{'2} = 4 (℘ - e_{1}) (℘ - e_{2}) (℘ - e_{3}) = 4 (x - 1) (x - 2) (x + 3) = 4 x^{3} - 28 x + 24$ 。これと $℘^{'2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ を比べて $g_{2} = 28, g_{3} = - 24$ 。

$g_{2} = 60 G_{4}, g_{3} = 140 G_{6}$ より $G_{4} = \frac{28}{60} = \frac{7}{15}$ 、 $G_{6} = \frac{- 24}{140} = - \frac{6}{35}$ 。

$℘ (z) = z^{- 2} + \sum_{n \geq 2} c_{n} z^{2 n - 2}$ 、 $c_{n} = (2 n - 1) G_{2 n}$ とおくと、微分方程式から $n \geq 4$ で
$c_{n} = \frac{3}{( 2 n + 1 ) ( n - 3 )} m = 2 \sum n - 2 c_{m} c_{n - m} .$

$c_{2} = 3 G_{4} = \frac{7}{5}, c_{3} = 5 G_{6} = - \frac{6}{7}$ 。
- $c_{4} = \frac{1}{3} c_{2}^{2} = \frac{49}{75}$
- $c_{5} = \frac{3}{22} \cdot 2 c_{2} c_{3} = - \frac{18}{55}$
- $c_{6} = \frac{1}{13} (2 c_{2} c_{4} + c_{3}^{2}) = \frac{1}{13} (\frac{686}{375} + \frac{36}{49}) = \frac{47114}{238875}$

$G_{12} = \frac{c _{6}}{11} = \frac{47114}{2627625}$ 。

検算: 既知の公式 $G_{12} = \frac{18 G _{4}^{3} + 25 G _{6}^{2}}{143}$ に代入すると、 $18 G_{4}^{3} = \frac{686}{375}$ 、 $25 G_{6}^{2} = \frac{36}{49}$ なので同じ値 $\frac{47114}{18375 \cdot 143} = \frac{47114}{2627625}$ を得る。分子 $47114 = 2 \cdot 23557$ は分母 $3 \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 13$ と互いに素なので既約。

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