楕円関数・モジュラー形式の問題

準備. まず条件が矛盾しないことを確かめる。$4\cdot 2^3-4\cdot 2-8=32-8-8=16=4^2$ なので、$(\wp (z_0),{\wp }^{\prime }(z_0))=(2,4)$ は曲線 $y^2=4x^3-4x-8$ 上の点である。また判別式は $g_2^3-27g_3^2=64-1728\ne 0$ なので、このような不変量をもつ格子は存在する。さらに ${\wp }^{\prime }(z_0)=4\ne 0$ だから $z_0$ は $2$ 等分点ではなく、$2z_0\notin \Lambda$ である。よって $\wp (2z_0)$ は有限の値として定まる。

${\wp }^{\prime \prime }$ の計算. 微分方程式 ${\wp }^{\prime 2}=4{\wp }^3-g_2\wp -g_3$ を微分すると
$$2{\wp }^{\prime }{\wp }^{\prime \prime }=(12{\wp }^2-g_2){\wp }^{\prime }$$
となる。${\wp }^{\prime }$ は恒等的に $0$ ではないので
$${\wp }^{\prime \prime }=6{\wp }^2-\frac{g_2}{2}.$$
よって
$${\wp }^{\prime \prime }(z_0)=6\cdot 4-2=22.$$

2 倍公式の導出.
- $\lambda =\frac{{\wp }^{\prime \prime }(z_0)}{{\wp }^{\prime }(z_0)}$, $\mu ={\wp }^{\prime }(z_0)-\lambda \wp (z_0)$ とおき、楕円関数 $f(z)={\wp }^{\prime }(z)-\lambda \wp (z)-\mu$ を考える。
- $f$ は周期平行四辺形内で $z=0$ にのみ $3$ 位の極をもつので、零点も重複を込めて $3$ 個である。また零点の和と極の和は $\Lambda$ を法として一致するから、零点の和は $\Lambda$ を法として $0$ である。
- $\lambda ,\mu$ の決め方から $f(z_0)=f^{\prime }(z_0)=0$ なので、$z_0$ は $f$ の $2$ 重以上の零点である。したがって 3 番目の零点は $-2z_0$ である（$\Lambda$ を法として）。
- 一方 $x=\wp (z)$ とおくと、$f(z)=0$ のとき $(\lambda x+\mu {)}^2=4x^3-g_{2}x-g_3$ が成り立つ。この 3 次方程式
$$4x^3-{\lambda }^2{x}^2-(g_2+2\lambda \mu )x-(g_3+{\mu }^2)=0$$
の根は $\wp (z_0)$（$2$ 重）と $\wp (-2z_0)=\wp (2z_0)$ である（$\wp$ は偶関数）。
- 根と係数の関係から $2\wp (z_0)+\wp (2z_0)=\frac{{\lambda }^2}{4}$ となるので、
$$\wp (2z_0)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\wp }^{\prime \prime }(z_0)}{{\wp }^{\prime }(z_0)}\right)}^2-2\wp (z_0).$$
これは加法定理 $\wp (z+w)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\wp }^{\prime }(z)-{\wp }^{\prime }(w)}{\wp (z)-\wp (w)}\right)}^2-\wp (z)-\wp (w)$ で $w\to z$ とした式とも一致する。

計算. $\lambda =\frac{22}{4}=\frac{11}{2}$ なので
$$\wp (2z_0)=\frac{1}{4}\cdot \frac{121}{4}-2\cdot 2=\frac{121}{16}-\frac{64}{16}=\frac{57}{16}.$$

$\wp$ の倍加公式 $\wp (2z)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\wp }^{\prime \prime }(z)}{{\wp }^{\prime }(z)}\right)}^2-2\wp (z)$ を使う。

1. 条件の整合性を確認する。$4\cdot 2^3-4\cdot 2-8=16=4^2={\wp }^{\prime }(z_0{)}^2$ となり、微分方程式と矛盾しない。また $g_2^3-27g_3^2=64-27\cdot 64\ne 0$ なので、この不変量をもつ格子が存在する。
2. 微分方程式の両辺を微分して $2{\wp }^{\prime }{\wp }^{\prime \prime }=(12{\wp }^2-g_2){\wp }^{\prime }$ を得る。${\wp }^{\prime }(z_0)\ne 0$ だから ${\wp }^{\prime \prime }=6{\wp }^2-\frac{g_2}{2}$ である。これに $\wp (z_0)=2$, $g_2=4$ を代入すると ${\wp }^{\prime \prime }(z_0)=6\cdot 4-2=22$ となる。
3. 倍加公式に代入する。$\wp (2z_0)=\frac{1}{4}{\left(\frac{22}{4}\right)}^2-2\cdot 2=\frac{121}{16}-4=\frac{57}{16}$。

検算として、加法公式 $\wp (u+v)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\wp }^{\prime }(u)-{\wp }^{\prime }(v)}{\wp (u)-\wp (v)}\right)}^2-\wp (u)-\wp (v)$ で $v\to u$ とした極限が上の倍加公式になる。