楕円関数・モジュラー形式の問題

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n(c(n)\in \mathbb{Z},c(1)=196884)$$
と $q$ 展開される（$j(i)=1728$ と正規化されたもの）。

${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ とする（$\sqrt{-19}=\sqrt{19}i$）。${\tau }_0$ は虚数乗法をもつ点であり、虚 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数が $1$ であることから、虚数乗法の理論により $j({\tau }_0)$ は有理整数であることが知られている。このことと、次の 2 つの事実を用いてよい。

• $e^{\pi \sqrt{19}}=885479.7776\cdots$
• $\tau ={\tau }_0$ に対応する $q$ について $\left|\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n\right|<\frac{1}{2}$

このとき、$j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$j(\tau )=q^{-1}+744+\sum _{n\ge 1}{c}_n{q}^n,c_1=196884,c_2=21493760,\dots$$
と展開される（$c_n$ は正の整数）。虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数は $1$ であり、虚数乗法の理論により ${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ に対して $j({\tau }_0)$ は整数になる。

$e^{\pi \sqrt{19}}=885479.7777\cdots$ であることを用いて、整数 $j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}:\mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ として
$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n,c(1)=196884,c(2)=21493760,\dots$$
と展開され、係数 $c(n)$ はすべて正の整数で $c(n)\le e^{4\pi \sqrt{n}}$ を満たす。${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$ とする。虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-43})$ の類数が $1$ であること、および $e^{\pi \sqrt{43}}=884736743.99977746\cdots$ を用いて、$j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とし、
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n$$
とおく。$E_4,E_6$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6$ の正則モジュラー形式であり、$E_2$ はモジュラー形式ではない。$D=q\frac{d}{dq}=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{d\tau }$ とし、重さ $k$ の正則モジュラー形式 $f$ に対して ${\vartheta }_{k}f=Df-\frac{k}{12}{E}_{2}f$ は重さ $k+2$ の正則モジュラー形式になること（セールの微分）、および ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $6$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上の線形空間は $1$ 次元であることを用いてよい。

このとき
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_1(m){\sigma }_3(12-m)$$
の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi iz}$（$z\in \mathbb{H}$）とし、判別式
$$\Delta (z)=q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
によりラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を定める。$\Delta$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $12$ の尖点形式であり、重さ $12$ の尖点形式の空間は $1$ 次元であることを用いてよい。$\tau (24)$ の値を求めよ。