楕円関数・モジュラー形式の問題

Step 1：$\lambda (i\sqrt{2})$ を求める。

${\tau }_0=i\sqrt{2}$ とおくと $-1/{\tau }_0=i/\sqrt{2}={\tau }_0/2$ である。$L=\lambda ({\tau }_0)$ とおく。事実 $(2)$ より
$$\lambda ({\tau }_0/2)=\lambda (-1/{\tau }_0)=1-L.$$
${\tau }_0/2$ は純虚数なので、事実 $(1)$ と $(4)$ より $k^{\prime }({\tau }_0/2)$ は $1-\lambda ({\tau }_0/2)=L$ の正の平方根、すなわち $k^{\prime }({\tau }_0/2)=\sqrt{L}$ である。事実 $(3)$ を $\tau ={\tau }_0/2$ に適用すると
$$L={\left(\frac{1-\sqrt{L}}{1+\sqrt{L}}\right)}^2.$$
$0<\sqrt{L}<1$ より両辺の正の平方根をとって $\sqrt{L}(1+\sqrt{L})=1-\sqrt{L}$、すなわち $L+2\sqrt{L}-1=0$ を得る。$\sqrt{L}>0$ より $\sqrt{L}=\sqrt{2}-1$ であり、
$$\lambda (i\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1{)}^2=3-2\sqrt{2}.$$

Step 2：$j(2\tau )$ を $\lambda (\tau )$ で表す。

$\lambda =\lambda (\tau )$、$k^{\prime }=k^{\prime }(\tau )$、$\mu =\lambda (2\tau )$ とし、$u=(1-k^{\prime }{)}^2$、$v=(1+k^{\prime }{)}^2$ とおく。事実 $(3)$ より $\mu =u/v$ である。$v-u=4k^{\prime }$ より $1-\mu =4k^{\prime }/v$ となる。また
$$uv=(1-k^{\prime 2}{)}^2={\lambda }^2,u^2+v^2=(1-k^{\prime }{)}^4+(1+k^{\prime }{)}^4=2+12k^{\prime 2}+2k^{\prime 4}$$
である。よって
$$u^2-uv+v^2=1+14k^{\prime 2}+k^{\prime 4}.$$
$k^{\prime 2}=1-\lambda$ を代入すると $1+14(1-\lambda )+(1-\lambda {)}^2={\lambda }^2-16\lambda +16$ となる。事実 $(5)$ を $2\tau$ に適用すると、$1-\mu +{\mu }^2=(v^2-uv+u^2)/v^2$、$\mu (1-\mu )=4k^{\prime }u/v^2$ より
$$j(2\tau )=\frac{256(u^2-uv+v^2{)}^3/v^6}{16k^{\prime 2}{u}^2/v^4}=\frac{16(u^2-uv+v^2{)}^3}{k^{\prime 2}{u}^2{v}^2}=\frac{16({\lambda }^2-16\lambda +16{)}^3}{{\lambda }^4(1-\lambda )}.$$
（検算：$\tau =i$ のとき $\lambda (i)=1/2$ で、$j(2i)=16\cdot (33/4{)}^3\cdot 32=287496=66^3$ となり、既知の値と一致する。）

Step 3：代入する。

$\lambda =3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1{)}^2$ のとき、${\lambda }^2=17-12\sqrt{2}$ である。したがって
$${\lambda }^2-16\lambda +16=17-12\sqrt{2}-48+32\sqrt{2}+16=5(4\sqrt{2}-3)$$
となる。また $1-\lambda =2(\sqrt{2}-1)$、${\lambda }^4=(\sqrt{2}-1{)}^8$ である。よって
$$j(2\sqrt{2}i)=\frac{16\cdot 125(4\sqrt{2}-3{)}^3}{2(\sqrt{2}-1{)}^9}=1000(4\sqrt{2}-3{)}^3(\sqrt{2}+1{)}^9=1000[(4\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+1{)}^3{]}^3.$$
ここで $(\sqrt{2}+1{)}^3=7+5\sqrt{2}$ であり、
$$(4\sqrt{2}-3)(7+5\sqrt{2})=28\sqrt{2}+40-21-15\sqrt{2}=19+13\sqrt{2}.$$
さらに $(19+13\sqrt{2}{)}^2=699+494\sqrt{2}$ より
$$(19+13\sqrt{2}{)}^3=(699+494\sqrt{2})(19+13\sqrt{2})=13281+12844+(9087+9386)\sqrt{2}=26125+18473\sqrt{2}.$$
ゆえに
$$j(2\sqrt{2}i)=(190+130\sqrt{2}{)}^3=26125000+18473000\sqrt{2}.$$

確認： これは虚数乗法の理論と整合する。判別式 $-32$ の類数は $2$ であり、$j(2\sqrt{2}i)$ とその共役 $26125000-18473000\sqrt{2}\approx 232.9$ の和は $52250000$、積は $(26125^2-2\cdot 18473^2)\cdot 10^6=12167000000=2300^3$ で、ともに整数になる。また $q=e^{-4\sqrt{2}\pi }\approx 1.9\times 10^{-8}$ は非常に小さいので $j\approx 1/q+744=e^{4\sqrt{2}\pi }+744\approx 52249767$ となり、求めた値 $26125000+18473000\sqrt{2}\approx 52249767.1$ と一致する。

${\tau }_0=\sqrt{2}i$ とおき、$\lambda =\lambda ({\tau }_0)$、$u=\lambda (1-\lambda )$ とする。$j(2\sqrt{2}i)=j(2{\tau }_0)$ をランデン変換で求める。

1. $j(\sqrt{2}i)=8000$ は既知の値として用いた（この値は事実 (1)〜(5) からは導いていない）。事実 (5) より $1-\lambda +{\lambda }^2=1-u$ なので、$256(1-u{)}^3=8000u^2$ となる。整理すると $4u^3+113u^2+12u-4=0$ である。
2. この3次方程式の解 $u$ を直接求める代わりに、既知の特異母数 $k=\sqrt{2}-1$ から $\lambda (\sqrt{2}i)=k^2=3-2\sqrt{2}$ とした（これも既知の値として用いた）。このとき $u=(3-2\sqrt{2})(2\sqrt{2}-2)=10\sqrt{2}-14\approx 0.14214$ である。3次方程式に代入すると $4u^3\approx 0.01149$、$113u^2\approx 2.2829$、$12u\approx 1.7057$ で、和は $4.0001$ となり、$-4$ と合わせてほぼ 0 になる。これで確かめた。
3. 事実 (1) より $s=k^{\prime }({\tau }_0)$ は $s^2=1-\lambda =2\sqrt{2}-2$ を満たす。$t=s^2$ とおく。
4. 事実 (3) より $L=\lambda (2{\tau }_0)={\left(\frac{1-s}{1+s}\right)}^2$ である。このとき $1-L=\frac{4s}{(1+s{)}^2}$、$L(1-L)=\frac{4s(1-s{)}^2}{(1+s{)}^4}$、$1-L+L^2=\frac{1+14s^2+s^4}{(1+s{)}^4}$ となる。
5. これを事実 (5) に代入すると、$j(2{\tau }_0)=\frac{16(1+14t+t^2{)}^3}{t(1-t{)}^4}$ が得られる。
6. 各量を計算する。$t=2\sqrt{2}-2$、$t^2=12-8\sqrt{2}$、$1+14t+t^2=20\sqrt{2}-15=5(4\sqrt{2}-3)$ である。また $1-t=3-2\sqrt{2}$ より $(1-t{)}^4=577-408\sqrt{2}$ である。
7. $(4\sqrt{2}-3{)}^3=236\sqrt{2}-315$ なので、分子は $16\cdot 125(236\sqrt{2}-315)=2000(236\sqrt{2}-315)$ である。
8. 分母は $t(1-t{)}^4=(2\sqrt{2}-2)(577-408\sqrt{2})=1970\sqrt{2}-2786$ である。
9. よって $j=\frac{1000(236\sqrt{2}-315)}{985\sqrt{2}-1393}$ となる。分母の共役との積は $985^2\cdot 2-1393^2=1940450-1940449=1$ なので、分子分母に $985\sqrt{2}+1393$ を掛ける。
10. 分子は $(236\sqrt{2}-315)(985\sqrt{2}+1393)=26125+18473\sqrt{2}$ となる。したがって $j(2\sqrt{2}i)=26125000+18473000\sqrt{2}$ である。

数値で確認する。$\sqrt{2}\approx 1.41421$ とすると $j\approx 26125000+26124\dots \times 10^3\approx 5.2\times 10^7$ となる。これは $q=e^{-2\pi \cdot 2\sqrt{2}}\approx e^{-17.77}$ に対する $1/q\approx 5.2\times 10^7$ と整合する。