楕円関数・モジュラー形式の問題

方針. $\mathbb{C}$ 上の楕円曲線 $\mathbb{C}/\Lambda$ の $j$ 不変量は $\Lambda$ の相似類だけで決まり、相似類を区別する。また指数 $2$ の部分格子 ${\Lambda }^{\prime }\subset \Lambda$ は次数 $2$ の同種写像 $\mathbb{C}/{\Lambda }^{\prime }\to \mathbb{C}/\Lambda$（双対をとれば $\mathbb{C}/\Lambda \to \mathbb{C}/{\Lambda }^{\prime }$）に対応する。そこで $i\to 2i\to 4i$ と 2 次の同種写像をたどり、ヴェルーの公式で方程式を計算する。

公式. $E:y^2=x(x^2+ax+b)$（$b(a^2-4b)\ne 0$）に対し、位数 2 の点 $(0,0)$ を核とする 2 次同種写像の像は
$$E^{\prime }:y^2=x(x^2-2ax+(a^2-4b))$$
である。また $y^2=x^3+A{x}^2+Bx$ の $j$ 不変量は
$$j=\frac{256(A^2-3B{)}^3}{B^2(A^2-4B)}.$$

1. $j(i)$ から $j(2i)$. $j=1728$ の曲線として $E_1:y^2=x^3-x$ をとる（$A=0,B=-1$ で $j=256\cdot 27/(1\cdot 4)=1728$）。これは ${\Lambda }_i$ に対応する。${\Lambda }_i=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ の指数 2 の部分格子は
$$\mathbb{Z}+2i\mathbb{Z},2\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}\sim {\Lambda }_{2i},2\mathbb{Z}+(1+i)\mathbb{Z}=(1+i){\Lambda }_i\sim {\Lambda }_i$$
の 3 つで、相似類は ${\Lambda }_{2i}$ が 2 つ、${\Lambda }_i$ が 1 つ。$E_1$ の位数 2 の点は $(0,0),(\pm 1,0)$。核 $(1,0)$ の場合、$x\mapsto x+1$ と平行移動すると $y^2=x^3+3x^2+2x$（$a=3,b=2$）なので像は
$$E_2:y^2=x(x^2-6x+1).$$
$A=-6,B=1$ より $j(E_2)=\frac{256\cdot 33^3}{1\cdot 32}=8\cdot 35937=287496\ne 1728$。よって $E_2$ は ${\Lambda }_{2i}$ に対応し、$j(2i)=287496$。

2. $E_2$ から 2 次同種な曲線. ${\Lambda }_{2i}=\mathbb{Z}+2i\mathbb{Z}$ の指数 2 の部分格子は
$$\mathbb{Z}+4i\mathbb{Z}={\Lambda }_{4i},2\mathbb{Z}+2i\mathbb{Z}\sim {\Lambda }_i,2\mathbb{Z}+(1+2i)\mathbb{Z}\sim {\Lambda }_{(1+2i)/2}$$
の 3 つ。$E_2$ の位数 2 の点は $(0,0)$ と $(r,0),(r^{\prime },0)$, $r=3+2\sqrt{2}$, $r^{\prime }=3-2\sqrt{2}$。核 $(0,0)$ の像は $y^2=x(x^2+12x+32)$ で、$j=\frac{256\cdot 48^3}{32^2\cdot 16}=1728$（${\Lambda }_i$ に戻る）。

核 $(r,0)$ の場合、$x\mapsto x+r$ で
$$y^2=x(x+r)(x+r-r^{\prime })=x(x^2+(2r-r^{\prime })x+r(r-r^{\prime })),$$
$a=2r-r^{\prime }=3+6\sqrt{2}$, $b=r\cdot 4\sqrt{2}=16+12\sqrt{2}$。像は $y^2=x^3+A{x}^2+Bx$ で
$$A=-2a=-6-12\sqrt{2},B=a^2-4b=(81+36\sqrt{2})-(64+48\sqrt{2})=17-12\sqrt{2}.$$
ここで
$$A^2=324+144\sqrt{2},A^2-3B=273+180\sqrt{2},A^2-4B=256+192\sqrt{2}=64(4+3\sqrt{2}),$$
$$B^2=(17-12\sqrt{2}{)}^2=577-408\sqrt{2},\frac{1}{B^2}=577+408\sqrt{2},\frac{1}{4+3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}-4}{2}.$$
また $(273+180\sqrt{2}{)}^2=139329+98280\sqrt{2}$, $(273+180\sqrt{2}{)}^3=73417617+51909660\sqrt{2}$。したがって
$$j=\frac{256}{64}(73417617+51909660\sqrt{2})(577+408\sqrt{2})\cdot \frac{3\sqrt{2}-4}{2}.$$
$(577+408\sqrt{2})(3\sqrt{2}-4)=140+99\sqrt{2}$ なので
$$j=2(73417617+51909660\sqrt{2})(140+99\sqrt{2})=2(20556579060+14535696483\sqrt{2})=41113158120+29071392966\sqrt{2}.$$
核 $(r^{\prime },0)$ の場合は $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ とした共役 $41113158120-29071392966\sqrt{2}$ になる。これら 2 つの値が $j(4i)$ と $j\left(\frac{1+2i}{2}\right)$ である（どちらも $1728$ と異なる）。

3. どちらが $j(4i)$ か. $q=e^{2\pi i\tau }$ とすると $j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+\cdots$（係数はすべて正）。$\tau =4i$ では $q=e^{-8\pi }>0$ なので $j(4i)>e^{8\pi }\approx 8.2\times 10^{10}$。一方 $41113158120-29071392966\sqrt{2}\approx -89.6$ は小さい（実際 $\tau =\frac{1}{2}+i$ では $q=-e^{-2\pi }$ で $j\approx -535.5+744-367.7+75.0-5.6+\cdots \approx -89.6$ と小さい）。よって
$$j(4i)=41113158120+29071392966\sqrt{2}.$$
（$\approx 8.2226\times 10^{10}\approx e^{8\pi }+744$ と整合する。${\Lambda }_{4i}$ の整環は判別式 $-64$ で類数 $2$ なので、$j(4i)$ が $\mathbb{Q}$ 上 2 次になることとも合う。）

${\Lambda }_{\tau }$ に対する $j(\tau )$ は通常の楕円モジュラー関数で、$j(i)=1728$、$j(2i)=287496=66^3$ が知られている（$j(2i)$ は $\tau =2i$ の虚数乗法の値）。位数 2 のモジュラー多項式 ${\Phi }_2(X,Y)=X^3+Y^3-X^2{Y}^2+1488(X^{2}Y+X{Y}^2)-162000(X^2+Y^2)+40773375XY+8748000000(X+Y)-157464000000000$ を用いる。$X=j(\tau )$ とすると、$Y$ の 3 次方程式 ${\Phi }_2(X,Y)=0$ の根は $j(2\tau ),j(\tau /2),j((\tau +1)/2)$ である。

$\tau =2i$, $X=287496$ とすると、根は $j(4i)$, $j(i)=1728$, $j(i+\frac{1}{2})$。

根の和: $X^2-1488X+162000=82653950016-427794048+162000=82226317968$。よって $j(4i)+j(i+\frac{1}{2})=82226317968-1728=82226316240$。

$j(4i)$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ の元（問題の前提）で、$j(i+\frac{1}{2})$ はその共役（$\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$）なので、$j(4i)=a+b\sqrt{2}$ とすると $2a=82226316240$、$a=41113158120$。

根の積: $-(X^3-162000X^2+8748000000X-157464000000000)=-12730291119207936$。これを $1728$ で割って $a^2-2b^2=-7367066619912$。

ゆえに $2b^2=a^2+7367066619912=1690291777967188554312$、$b^2=845145888983594277156$ となり、$b=29071392966$（$29071392966^2$ がこの値に一致することを確認）。

検算: $e^{8\pi }+744\approx 8.2226316\times 10^{10}$ に対し、$a+b\sqrt{2}\approx 41113158120+41113158120.0\approx 8.2226316\times 10^{10}$ で整合する。また $a-b\sqrt{2}=j(i+\frac{1}{2})$ は小さな負の値（約 $-e^{\pi }$ 付近）で $q=-e^{-\pi }$ からの見積りと整合する。

以上より $j(4i)=41113158120+29071392966\sqrt{2}$。