代数的組合せ論の問題

使う事実. シューア関数は半標準ヤング盤の母関数で $s_{\lambda }={\sum }_{\mu }{K}_{\lambda \mu }{m}_{\mu }$ と書け、これと双対的に
$$h_{\mu }=\sum _{\lambda }{K}_{\lambda \mu }{s}_{\lambda }$$
が成り立つ。したがって $a_i$ は、形 $\lambda$・内容 $\mu =(2,1,1)$ の半標準ヤング盤の個数（コストカ数）$K_{\lambda ,(2,1,1)}$ である。また $K_{\lambda \mu }\ne 0$ となるのは $\lambda ⊵\mu$（支配順序）のときに限り、$K_{\mu \mu }=1$ である（三角性）。

内容 $(2,1,1)$ とは、数字 $1$ を 2 個、$2$ を 1 個、$3$ を 1 個使うことである。各形について、1 を水平帯として置き、次に 2、次に 3 を置いていく。

• $\lambda =(4)$: 1 行に $1,1,2,3$ と並べる 1 通り。よって $a_1=1$。
• $\lambda =(3,1)$: 列は上から下へ真に増加するので、1 は 2 個とも 1 行目の左端に入る。残る 1 行目の 3 番目の箱と 2 行目の箱に 2 と 3 を入れる。2 行目が 2 のとき 1 行目は $1,1,3$、2 行目が 3 のとき 1 行目は $1,1,2$ で、どちらも半標準。よって $a_2=2$。
• $\lambda =(2,2)$: 1 行目は $1,1$。2 行目は左から弱増加なので $2,3$ の 1 通り。よって $a_3=1$。
• $\lambda =(2,1,1)$: $\lambda =\mu$ なので $K_{\mu \mu }=1$（1 行目 $1,1$、1 列目に下へ $2,3$）。よって $a_4=1$。
• $\lambda =(1,1,1,1)$: 1 列に並べると 1 が縦に 2 個並び、列の真の増加に反する。実際 $(1,1,1,1)/⊵(2,1,1)$ なので $K=0$。よって $a_5=0$。

検算. 両辺の $x_1{x}_2{x}_3{x}_4$ の係数を比べる。左辺は $h_2{h}_1{h}_1$ の積で、多重集合 $\{1,2,3,4\}$ を「2 個・1 個・1 個」に分ける方法の数 $\frac{4!}{2!1!1!}=12$。右辺は $s_{\lambda }$ の $x_1{x}_2{x}_3{x}_4$ の係数が標準ヤング盤の個数 $f^{\lambda }$（$f^{(4)}=1,f^{(3,1)}=3,f^{(2,2)}=2,f^{(2,1,1)}=3$）なので $1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 2+1\cdot 3=12$ となり一致する。

答えは $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(1,2,1,1,0)$。

$h_{\mu }={\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda \mu }{s}_{\lambda }$（$K_{\lambda \mu }$ はカトナ数、型 $\lambda$・内容 $\mu$ の半標準タブローの個数）。$\mu =(2,1,1)$、すなわち内容は 1,1,2,3。\n\n- $\lambda =(4)$: 1 1 2 3 の 1 通り。$a_1=1$。\n- $\lambda =(3,1)$: 第1行は 1,1,x、第2行は y で $\{x,y\}=\{2,3\}$。y は 1 の下にあり 1 より大きいので両方可能。2 通り。$a_2=2$。\n- $\lambda =(2,2)$: 第1行 1,1、第2行 2,3 の 1 通り。$a_3=1$。\n- $\lambda =(2,1,1)$: 第1列は 1,2,3、第1行の残りは 1 の 1 通り。$a_4=1$。\n- $\lambda =(1,1,1,1)$: 1 が 2 個あり列は狭義増加なので 0 通り。$a_5=0$。\n\n検算: 両辺の $x_1{x}_2{x}_3{x}_4$ の係数（標準タブロー数 $f^{\lambda }$ の和）を比べる。右辺は $1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 2+1\cdot 3=12$、左辺は $4!/2!=12$ で一致する。