ホールの内積

設定. 係数は有理数とし、次数 $n$ の対称関数を考えます。変数の個数 $N$ は $N\ge n$ とします（このとき $n$ の分割 $\lambda$ をすべて動かした $\{m_{\lambda }\}$, $\{h_{\lambda }\}$, $\{s_{\lambda }\}$ はどれも次数 $n$ の対称多項式の空間の基底になります。変数が $n$ 個より少ないと、例えば $m_{(1,1,1)}=0$（2 変数）のように基底が潰れてしまいます）。

定義. $\{h_{\lambda }\}$ と $\{m_{\mu }\}$ はどちらも基底なので、$⟨h_{\lambda },m_{\mu }⟩={\delta }_{\lambda \mu }$ を双線形に広げると内積がただ 1 つ定まります。$f={\sum }_{\lambda }{a}_{\lambda }{h}_{\lambda }$、$g={\sum }_{\mu }{b}_{\mu }{m}_{\mu }$ なら $⟨f,g⟩={\sum }_{\lambda }{a}_{\lambda }{b}_{\lambda }$ です。特に $⟨h_{\lambda },h_{\mu }⟩$ は「$h_{\mu }$ の $m_{\lambda }$ の係数」、つまり行和 $\mu$・列和 $\lambda$ の非負整数行列の個数で、行列を転置すれば $\lambda ,\mu$ を入れ替えても個数は同じなので、この内積は対称です。

シューア関数が正規直交になる理由. コストカ行列 $K=(K_{\lambda \mu })$ は対角成分 1 の三角行列なので逆行列 $K^{-1}$ をもちます。$h_{\mu }={\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda \mu }{s}_{\lambda }$ を逆に解くと $s_{\lambda }={\sum }_{\mu }(K^{-1}{)}_{\mu \lambda }{h}_{\mu }$、一方 $s_{\rho }={\sum }_{\nu }{K}_{\rho \nu }{m}_{\nu }$ です。定義から
$$⟨s_{\lambda },s_{\rho }⟩=\sum _{\mu }(K^{-1}{)}_{\mu \lambda }{K}_{\rho \mu }=(K{K}^{-1}{)}_{\rho \lambda }={\delta }_{\rho \lambda }.$$
したがって $f={\sum }_{\lambda }{c}_{\lambda }{s}_{\lambda }$ と展開すれば、$⟨f,s_{\rho }⟩={\sum }_{\lambda }{c}_{\lambda }⟨s_{\lambda },s_{\rho }⟩=c_{\rho }$、$⟨f,f⟩={\sum }_{\lambda }{c}_{\lambda }^2$ となります。

双対基底と 2 組の変数の母関数. 2 組の変数 $x=(x_1,\dots ,x_N)$, $y=(y_1,\dots ,y_N)$（$N\ge n$）を用意します。次数 $n$ の 2 つの基底 $\{u_{\lambda }\},\{v_{\lambda }\}$ を $u_{\lambda }={\sum }_{\rho }{A}_{\lambda \rho }{h}_{\rho }$、$v_{\mu }={\sum }_{\sigma }{B}_{\mu \sigma }{m}_{\sigma }$ と書きます（$A,B$ は正方行列）。すると
- $⟨u_{\lambda },v_{\mu }⟩={\sum }_{\rho }{A}_{\lambda \rho }{B}_{\mu \rho }=(A{B}^T{)}_{\lambda \mu }$ なので、「$⟨u_{\lambda },v_{\mu }⟩={\delta }_{\lambda \mu }$」は $A{B}^T=I$ と同値。
- ${\sum }_{\lambda }{u}_{\lambda }(x)v_{\lambda }(y)={\sum }_{\rho ,\sigma }(A^{T}B{)}_{\rho \sigma }{h}_{\rho }(x)m_{\sigma }(y)$ です。$\{h_{\rho }(x)\}$, $\{m_{\sigma }(y)\}$ がそれぞれ基底（ここで $N\ge n$ を使う）で、$x$ と $y$ は別の変数なので、積 $h_{\rho }(x)m_{\sigma }(y)$ たちは一次独立です。よって「${\sum }_{\lambda }{u}_{\lambda }(x)v_{\lambda }(y)={\sum }_{\lambda }{h}_{\lambda }(x)m_{\lambda }(y)$」は $A^{T}B=I$ と同値。
正方行列では片側の逆行列が両側の逆行列なので、$A{B}^T=I⟺B=(A^T{)}^{-1}⟺A^{T}B=I$。つまり 2 つの条件は同値です。

さらに ${\sum }_{\lambda }{h}_{\lambda }(x)m_{\lambda }(y)$ は ${\prod }_{i,j}(1-x_i{y}_j{)}^{-1}$ の次数 $n$（$x$ について $n$ 次、$y$ について $n$ 次）の部分です。実際 ${\prod }_j{\prod }_i(1-x_i{y}_j{)}^{-1}={\prod }_j{\sum }_{r\ge 0}{h}_r(x)y_j^r$ を展開すると、$y$ の単項式 $y_1^{{\alpha }_1}\cdots y_N^{{\alpha }_N}$ の係数は $h_{{\alpha }_1}(x)\cdots h_{{\alpha }_N}(x)=h_{\lambda }(x)$（$\lambda$ は $\alpha$ を大きい順に並べた分割）なので、$\lambda$ ごとにまとめると ${\sum }_{\lambda }{h}_{\lambda }(x)m_{\lambda }(y)$ になります。

べき和について. $\log (1-t{)}^{-1}={\sum }_{r\ge 1}{t}^r/r$ を使うと（形式的べき級数として）
$$\log \prod _{i,j}(1-x_i{y}_j{)}^{-1}=\sum _{r\ge 1}\frac{1}{r}\sum _{i,j}(x_i{y}_j{)}^r=\sum _{r\ge 1}\frac{1}{r}{p}_r(x)p_r(y).$$
指数関数で戻すと
$$\prod _{i,j}(1-x_i{y}_j{)}^{-1}=\prod _{r\ge 1}\sum _{m_r\ge 0}\frac{(p_r(x)p_r(y){)}^{m_r}}{r^{m_r}{m}_r!}=\sum _{\lambda }\frac{1}{z_{\lambda }}{p}_{\lambda }(x)p_{\lambda }(y)$$
となります。ここで $\lambda$ に部分 $i$ が $m_i$ 個あるとき $z_{\lambda }={\prod }_i{i}^{m_i}{m}_i!$ です。次数 $n$ の部分を比べると ${\sum }_{\lambda }{p}_{\lambda }(x)\frac{p_{\lambda }(y)}{z_{\lambda }}={\sum }_{\lambda }{h}_{\lambda }(x)m_{\lambda }(y)$。ここで、$\{p_{\lambda }\}$（$\lambda$ は $n$ の分割）は有理数係数の次数 $n$ の対称関数の基底であることを使います（$p_{\lambda }$ を $m$ で展開すると、支配順序について三角で対角成分が正の整数になるので、有理数係数なら逆に解けます。整数係数では基底になりません）。すると上の同値性を $u_{\lambda }=p_{\lambda }$, $v_{\lambda }=p_{\lambda }/z_{\lambda }$ に使えて、$⟨p_{\lambda },p_{\mu }/z_{\mu }⟩={\delta }_{\lambda \mu }$、すなわち $⟨p_{\lambda },p_{\mu }⟩=z_{\lambda }{\delta }_{\lambda \mu }$ です。