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代数的組合せ論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数的組合せ論

有理数係数の対称関数環 $Λ_{Q}$ を考える。 $Λ_{Q}$ にはホール内積 $⟨, ⟩$ が入っており、シューア関数 ${s_{λ}}$ はこの内積について正規直交基底をなすものとする。分割 $ρ$ に対し、 $ρ$ に $i$ がちょうど $m_{i}$ 回現れるとき $z_{ρ} = \prod_{i \geq 1} i^{m_{i}} m_{i}!$ とおき、べき和対称関数 $p_{ρ}$ どうしの内部積（クロネッカー積） $*$ を
$p_{ρ} * p_{σ} = δ_{ρ σ} z_{ρ} p_{ρ}$
で定め、各次数の斉次部分上で双線形に拡張する。

$6$ 次の対称関数 $s_{(4, 2)} * s_{(4, 2)}$ をシューア関数で
$s_{(4, 2)} * s_{(4, 2)} = ν ⊢ 6 \sum g_{ν} s_{ν} (g_{ν} \in Q)$
と展開する。係数の $2$ 乗和 $ν ⊢ 6 \sum g_{ν}^{2}$ を求めよ。

この問題で使うもの

ホールの内積（説明と入口の問題）
べき和のシューア展開とマーナハン・中山則（説明と入口の問題）
群の表現と指標（説明と入口の問題）
対称群の共役類（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（91 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

係数を一つずつ求めなくても、シューア関数の正規直交性から $\sum g_{ν}^{2} = ⟨ F, F ⟩$ （ $F = s_{42} * s_{42}$ ）と書けることを使いましょう。

ヒント 2

$s_{λ} = \sum_{ρ} z_{ρ}^{- 1} χ^{λ} (ρ) p_{ρ}$ と $⟨ p_{ρ}, p_{σ} ⟩ = δ_{ρ σ} z_{ρ}$ から、 $⟨ F, F ⟩ = \frac{1}{720} \sum_{ρ} ∣ C_{ρ} ∣ χ^{(4, 2)} (ρ)^{4}$ が得られます。

ヒント 3

$s_{42} = h_{4} h_{2} - h_{5} h_{1}$ より $χ^{(4, 2)} = (2 f) + t - f$ （ $f$ は固定点の数、 $t$ は 2-サイクルの数）です。値は $1^{6}$ で $9$ 、 $2 1^{4}$ で $3$ 、 $2^{2} 1^{2}$ で $1$ 、 $2^{3}$ で $3$ 、 $4 1^{2}$ で $- 1$ 、 $42$ で $1$ 、 $51$ で $- 1$ となり、他の類では $0$ です。

答えと解説

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13

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解説を読む

1. べき和展開と内積の計算への帰着

$χ^{λ}$ を $S_{6}$ の既約指標とし、 $χ^{λ} (ρ)$ でサイクル型 $ρ$ の元での値を表す。フロベニウスの公式から
$s_{λ} = ρ ⊢ 6 \sum z_{ρ}^{- 1} χ^{λ} (ρ) p_{ρ} .$
内部積の定義より
$F := s_{(4, 2)} * s_{(4, 2)} = ρ \sum z_{ρ}^{- 2} χ^{(4, 2)} (ρ)^{2} z_{ρ} p_{ρ} = ρ \sum z_{ρ}^{- 1} χ^{(4, 2)} (ρ)^{2} p_{ρ} .$
${s_{ν}}$ は正規直交なので $\sum_{ν} g_{ν}^{2} = ⟨ F, F ⟩$ である。さらに $⟨ p_{ρ}, p_{σ} ⟩ = δ_{ρ σ} z_{ρ}$ を使うと
$⟨ F, F ⟩ = ρ \sum z_{ρ}^{- 2} χ^{(4, 2)} (ρ)^{4} z_{ρ} = ρ \sum \frac{χ ^{(4, 2)} ( ρ ) ^{4}}{z _{ρ}} = \frac{1}{720} ρ \sum ∣ C_{ρ} ∣ χ^{(4, 2)} (ρ)^{4} .$
ここで $∣ C_{ρ} ∣ = 6! / z_{ρ}$ は型 $ρ$ の共役類の大きさである。

2. $χ^{(4, 2)}$ の計算

ピエリの公式から $h_{4} h_{2} = s_{6} + s_{51} + s_{42}$ 、 $h_{5} h_{1} = s_{6} + s_{51}$ である。したがって
$s_{42} = h_{4} h_{2} - h_{5} h_{1}$
となる。 $h_{μ}$ は $S_{6}$ の $μ$ -タブロイド上の置換指標に対応する。

$σ$ の固定点の個数を $f$ 、 $2$ -サイクルの個数を $t$ とする。 $h_{5} h_{1}$ の指標は $f$ である。 $h_{4} h_{2}$ の指標は $σ$ が固定する $2$ 元部分集合の個数なので $(2 f) + t$ である。よって
$χ^{(4, 2)} = (2 f) + t - f .$

各共役類での値は次のとおり（左から $ρ$ 、 $∣ C_{ρ} ∣$ 、 $χ^{(4, 2)}$ ）。
- $1^{6}$ ： $1$ 、 $9$
- $2 1^{4}$ ： $15$ 、 $3$
- $2^{2} 1^{2}$ ： $45$ 、 $1$
- $2^{3}$ ： $15$ 、 $3$
- $3 1^{3}$ ： $40$ 、 $0$
- $321$ ： $120$ 、 $0$
- $3^{2}$ ： $40$ 、 $0$
- $4 1^{2}$ ： $90$ 、 $- 1$
- $42$ ： $90$ 、 $1$
- $51$ ： $144$ 、 $- 1$
- $6$ ： $120$ 、 $0$

検算として、類の大きさの和は $720$ である。また $\sum ∣ C_{ρ} ∣ χ^{2} = 81 + 135 + 45 + 135 + 90 + 90 + 144 = 720$ となり、既約指標のノルムが $1$ であることと合う。

3. 4 乗和の計算
$ρ \sum ∣ C_{ρ} ∣ χ^{(4, 2)} (ρ)^{4} = 6561 + 15 \cdot 81 + 45 \cdot 1 + 15 \cdot 81 + 90 \cdot 1 + 90 \cdot 1 + 144 \cdot 1$
$= 6561 + 1215 + 45 + 1215 + 90 + 90 + 144 = 9360.$
よって
$ν \sum g_{ν}^{2} = \frac{9360}{720} = 13.$

（参考）実際の展開は $s_{42} * s_{42} = s_{6} + s_{51} + 2 s_{42} + s_{411} + s_{33} + 2 s_{321} + s_{3111}$ である。係数の 2 乗和は $1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 1 = 13$ 、次元の和は $1 + 5 + 18 + 10 + 5 + 32 + 10 = 81 = 9^{2}$ となり、どちらも整合する。

答え： $13$

別解

$g_{ν}$ は $S_{6}$ の既約指標 $χ^{(4, 2)}$ の自乗 $χ^{2}$ を既約指標に分解したときの重複度である。ゆえに $\sum g_{ν}^{2} = ⟨ χ^{2}, χ^{2} ⟩ = \frac{1}{720} \sum_{g \in S_{6}} χ (g)^{4}$ となる。

$χ^{(4, 2)}$ は、2 元部分集合への作用の置換指標 $= 1 + χ^{(5, 1)} + χ^{(4, 2)}$ から求める。 $χ^{(5, 1)} = (固定点数) - 1$ を用いる。

共役類ごとの値と類の大きさは次のとおり。
- $1^{6}$ : 値 9、大きさ 1
- $2 1^{4}$ : 値 3、大きさ 15
- $2^{2} 1^{2}$ : 値 1、大きさ 45
- $2^{3}$ : 値 3、大きさ 15
- $3 1^{3}$ : 値 0、大きさ 40
- $321$ : 値 0、大きさ 120
- $3^{2}$ : 値 0、大きさ 40
- $4 1^{2}$ : 値 $- 1$ 、大きさ 90
- $42$ : 値 1、大きさ 90
- $51$ : 値 $- 1$ 、大きさ 144
- $6$ : 値 0、大きさ 120

$\sum χ^{4} = 6561 + 15 \cdot 81 + 45 + 15 \cdot 81 + 90 + 90 + 144 = 9360$ 。

$9360/720 = 13$ 。

検算として、 $\sum_{g} χ (g)^{2} = 81 + 15 \cdot 9 + 45 + 15 \cdot 9 + 90 + 90 + 144 = 720$ となり、 $χ$ が既約であることと整合する。

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