代数的組合せ論の問題

ステップ 1（係数の意味） フロベニウスの指標公式 $p_{\mu }={\sum }_{\lambda }{\chi }^{\lambda }(\mu )s_{\lambda }$ と、$\{p_{\mu }\}$ が直交基底で $⟨p_{\mu },p_{\nu }⟩=z_{\mu }{\delta }_{\mu \nu }$ であることから
$$s_{\lambda }=\sum _{\mu }\frac{{\chi }^{\lambda }(\mu )}{z_{\mu }}{p}_{\mu }$$
が成り立つ。ここで ${\chi }^{\lambda }(\mu )$ は対称群 $S_9$ の既約指標の、型 $\mu$ の共役類での値であり、$z_{\mu }={\prod }_i{i}^{m_i}{m}_i!$（$m_i$ は $\mu$ に現れる $i$ の個数）である。よって $c_{(3,3,3)}={\chi }^{(4,4,1)}((3,3,3))/z_{(3,3,3)}$。

ステップ 2（$z_{\mu }$） $\mu =(3,3,3)$ では $m_3=3$ なので $z_{(3,3,3)}=3^3\cdot 3!=162$。

ステップ 3（マーナハン–中山の公式、1 回目） $(4,4,1)$ の各箱のフック長は
$$\begin{array}{cccc}6& 4& 3& 2\\ 5& 3& 2& 1\\ 1& & & \end{array}$$
で、長さ $3$ のリボン（境界帯）は箱 $(1,3)$ と $(2,2)$ に対応する 2 つである。
- 箱 $(1,3)$：リボン $\{(1,4),(2,4),(2,3)\}$。取り除くと $(3,2,1)$。高さ（行数 $-1$）は $1$ なので符号 $-1$。
- 箱 $(2,2)$：リボン $\{(2,2),(2,3),(2,4)\}$。取り除くと $(4,1,1)$。高さ $0$ なので符号 $+1$。

よって
$${\chi }^{(4,4,1)}(3,3,3)=-{\chi }^{(3,2,1)}(3,3)+{\chi }^{(4,1,1)}(3,3).$$

ステップ 4（${\chi }^{(3,2,1)}(3,3)$） $(3,2,1)$ のフック長は $\begin{array}{ccc}5& 3& 1\\ 3& 1& \\ 1& & \end{array}$。長さ $3$ のリボンは
- 箱 $(1,2)$：リボン $\{(1,3),(2,2),(1,2)\}$ を除くと $(1,1,1)$、高さ $1$、符号 $-1$。
- 箱 $(2,1)$：リボン $\{(2,2),(2,1),(3,1)\}$ を除くと $(3)$、高さ $1$、符号 $-1$。

${\chi }^{(1,1,1)}(3)=\mathrm{sgn}(3\text{-cycle})=1$、${\chi }^{(3)}(3)=1$ なので ${\chi }^{(3,2,1)}(3,3)=-1-1=-2$。

ステップ 5（${\chi }^{(4,1,1)}(3,3)$） $(4,1,1)$ のフック長は $\begin{array}{cccc}6& 3& 2& 1\\ 2& & & \\ 1& & & \end{array}$。長さ $3$ のリボンは箱 $(1,2)$ に対応する $\{(1,2),(1,3),(1,4)\}$ だけで、除くと $(1,1,1)$、高さ $0$、符号 $+1$。よって ${\chi }^{(4,1,1)}(3,3)={\chi }^{(1,1,1)}(3)=1$。

ステップ 6（まとめ）
$${\chi }^{(4,4,1)}(3,3,3)=-(-2)+1=3,$$
$$c_{(3,3,3)}=\frac{3}{162}=\frac{1}{54}.$$

（検算：$(4,4,1)$ の $3$-コアは空で $3$-ウェイトは $3$。$3$-商はサイズ $2$ と $1$ の分割からなり、${\chi }^{\lambda }(3^3)=\pm \frac{3!}{2!1!}\cdot 1\cdot 1=\pm 3$ となって絶対値が一致する。）

$s_{\lambda }={\sum }_{\mu ⊢n}{z}_{\mu }^{-1}{\chi }^{\lambda }(\mu )p_{\mu }$ なので $c_{\mu }={\chi }^{\lambda }(\mu )/z_{\mu }$。$\mu =(3,3,3)$ のとき $z_{\mu }=3^3\cdot 3!=162$。

${\chi }^{(4,4,1)}(3,3,3)$ をムナガン・中山の規則で求める。$\lambda =(4,4,1)$ を 3 つの部分をもつものとして ${\beta }_i={\lambda }_i+3-i$ とおくと $\beta =\{6,5,1\}$。長さ 3 のリムフックを除くことは、$\beta$ の 1 つの値 $b$ を $b-3$（$\ge 0$ で他と重ならない）に替えることで、符号は $b-3<c<b$ を満たす他の $\beta$ の個数 $m$ による $(-1{)}^m$。最後は空の分割 $\{2,1,0\}$ に到達する。

• $\{6,5,1\}$：$6\to 3$ で $\{5,3,1\}$（間に 5 があるので符号 $-$）、$5\to 2$ で $\{6,2,1\}$（符号 $+$）。$1\to -2$ は不可。
• $\{5,3,1\}$：$5\to 2$ で $\{3,2,1\}$（間に 3 があるので $-$）、$3\to 0$ で $\{5,1,0\}$（間に 1 があるので $-$）。
• $\{3,2,1\}$：$3\to 0$ で $\{2,1,0\}$（間に 2,1 の 2 個で $+$）。寄与 $+1$。
• $\{5,1,0\}$：$5\to 2$ で $\{2,1,0\}$（間に何もなく $+$）。寄与 $+1$。
• よって $\{5,3,1\}$ からは $(-1)(1)+(-1)(1)=-2$。
• $\{6,2,1\}$：$6\to 3$ で $\{3,2,1\}$（間に何もなく $+$）、そこから $+1$。よって $+1$。

合計 ${\chi }^{(4,4,1)}(3,3,3)=(-1)(-2)+(+1)(1)=3$。

ゆえに $c_{(3,3,3)}=3/162=1/54$。

検算：${\chi }^{\lambda }(3,3,3)$ は整数であり、$|\chi |\le f^{\lambda }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{?}\right)$ より小さい値（$f^{(4,4,1)}=9!/(6\cdot 5\cdot 4\cdot 2\cdot \dots )$ は大きい）で矛盾しない。また別の見方として 3-core が空で、3-商の形から符号付き数え上げが 3 と出ることとも整合する。