代数的組合せ論の問題

$v_1=e_1,\dots ,v_5=e_5,v_6=u$ とおき、$v_i\in W$ となる $3$ 次元部分空間 $W$ 全体を $A_i$ とする。求める個数は、$3$ 次元部分空間全体から $A_1\cup \cdots \cup A_6$ を除いた個数であり、包除原理により
$$N=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,6\}}(-1{)}^{|S|}|\bigcap _{i\in S}{A}_i|$$
である（$S=\varnothing$ のときは $3$ 次元部分空間全体）。

一次独立性の確認. $6$ 個のうち任意の $5$ 個は一次独立である。実際、$e_1,\dots ,e_5$ は基底であり、$e_j$ を除いて $u$ を加えた $5$ 個についても、$e_j=u-{\sum }_{i\ne j}{e}_i$ が張る空間に入るので全体を張り、一次独立である。したがって $|S|\le 5$ ならば $\{v_i{\}}_{i\in S}$ は一次独立で、$U_S=⟨v_i:i\in S⟩$ は $|S|$ 次元である。

各項の計算. ${\bigcap }_{i\in S}{A}_i$ は $U_S\subseteq W$ をみたす $3$ 次元部分空間 $W$ 全体である。$V/U_S$ の $(3-|S|)$ 次元部分空間と一対一に対応するので、$|S|=j$ のとき
$$\left|\bigcap _{i\in S}{A}_i\right|={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5-j}{3-j}\right)}_q(j\le 3)$$
であり、$j\ge 4$ のときは $\dim U_S>3$ となるので $0$ である（$j=6$ でも $U_S=V$ なので $0$）。ここで ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_q$ は $q$ 二項係数である。

$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}_q={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}_q=\frac{(q^5-1)(q^4-1)}{(q^2-1)(q-1)}=(q^4+q^3+q^2+q+1)(q^2+1)=q^6+q^5+2q^4+2q^3+2q^2+q+1,$$
$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}_q=\frac{(q^4-1)(q^3-1)}{(q^2-1)(q-1)}=(q^2+1)(q^2+q+1)=q^4+q^3+2q^2+q+1,$$
$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}_q=q^2+q+1,{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}_q=1.$$

まとめ. $|S|=j$ となる $S$ は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{j}\right)$ 個あるので
$$N={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}_q-6{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}_q+15{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}_q-20.$$
各項を展開すると
$$6{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}_q=6q^4+6q^3+12q^2+6q+6,15{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}_q=15q^2+15q+15$$
であるから、次数ごとに整理して
- $q^4$: $2-6=-4$
- $q^3$: $2-6=-4$
- $q^2$: $2-12+15=5$
- $q$: $1-6+15=10$
- 定数項: $1-6+15-20=-10$

となる。よって
$$N=q^6+q^5-4q^4-4q^3+5q^2+10q-10$$
である（例えば $q=2$ のとき $N=30$ となり、$3$ 次元部分空間の総数 $155$ 以下の正の値になっている）。

3 次元部分空間 $W$ が与えられたベクトルを含むという条件に包除原理を使う。6 個のベクトルを $v_1,\dots ,v_6$ とする。$v_1,\dots ,v_6$ のうちどの 5 個も一次独立である(例えば $u,e_1,\dots ,e_4$ は一次独立)。したがって、$k$ 個($k\le 5$)のベクトルの張る空間の次元は $k$ である。

$k$ 個のベクトルを選んで、それらをすべて含む 3 次元部分空間の個数を $N_k$ とする。$k$ 次元部分空間を含む 3 次元部分空間の個数はガウス二項係数 ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5-k}{3-k}\right)}_q$ で与えられる。
- $N_0={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}_q=(q^4+q^3+q^2+q+1)(q^2+1)=q^6+q^5+2q^4+2q^3+2q^2+q+1$
- $N_1={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}_q=q^4+q^3+2q^2+q+1$
- $N_2={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}_q=q^2+q+1$
- $N_3=1$
- $k\ge 4$ のとき、張る空間の次元が 4 以上なので $N_k=0$

求める個数は
$N_0-6N_1+15N_2-20N_3$
$=(q^6+q^5+2q^4+2q^3+2q^2+q+1)-6(q^4+q^3+2q^2+q+1)+15(q^2+q+1)-20$
$=q^6+q^5-4q^4-4q^3+5q^2+10q-10$。

検算: $q=2$ のとき $64+32-64-32+20+20-10=30$ となり、3 次元部分空間の総数 155 以下の正の値で、矛盾しない。