代数的組合せ論の問題

ステップ 1（包除原理の設定）. $2$ 次元部分空間全体の集合を $\mathcal{X}$ とし、$A_i=\{W\in \mathcal{X}\mid e_i\in W\}$（$i=1,2$）とおく。求める個数は
$$\left|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\right|=\sum _{S\subseteq \{e_1,e_2\}}(-1{)}^{|S|}{N}_S$$
である。ここで $N_S$ は $S$ のベクトルをすべて含む $2$ 次元部分空間の個数。

ステップ 2（$N_S$ の計算）. $S$ のベクトルは一次独立なので、$S$ をすべて含む $W$ は $⟨S⟩$ を含む $W$ であり、商空間 $V/⟨S⟩\cong {\mathbb{F}}_q^{4-|S|}$ の $(2-|S|)$ 次元部分空間と一対一に対応する。よって $N_S={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4-|S|}{2-|S|}\right)}_q$。
- $|S|=0$: ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}_q=\frac{(q^4-1)(q^3-1)}{(q^2-1)(q-1)}=(q^2+1)(q^2+q+1)=q^4+q^3+2q^2+q+1$
- $|S|=1$（$2$ 通り）: ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}_q=\frac{q^3-1}{q-1}=q^2+q+1$
- $|S|=2$（$1$ 通り）: ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}_q=1$

ステップ 3（まとめ）.
$$(q^4+q^3+2q^2+q+1)-2(q^2+q+1)+1=q^4+q^3-q.$$

確認. $q=2$ のとき ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}_2=35$、$e_1$ を含むもの $7$ 個、$e_2$ を含むもの $7$ 個、両方を含むもの $1$ 個で $35-14+1=22$。一方 $2^4+2^3-2=22$ で一致する。

包除原理で数える。${\mathbb{F}}_q^4$ の 2 次元部分空間の総数はガウス二項係数 ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}_q=\frac{(q^4-1)(q^3-1)}{(q^2-1)(q-1)}=(q^2+1)(q^2+q+1)=q^4+q^3+2q^2+q+1$。$e_1\in W$ となる $W$ は、商空間 $V/⟨e_1⟩\cong {\mathbb{F}}_q^3$ の 1 次元部分空間と対応するので $\frac{q^3-1}{q-1}=q^2+q+1$ 個。同様に $e_2\in W$ も $q^2+q+1$ 個。$e_1,e_2\in W$ なら $W=⟨e_1,e_2⟩$ の 1 個のみ。よって求める個数は $(q^4+q^3+2q^2+q+1)-2(q^2+q+1)+1=q^4+q^3-q$。検算: $q=2$ のとき総数 $35$、$e_1\in W$ は $7$ 個、両方は 1 個なので $35-14+1=22$。公式は $16+8-2=22$ で一致。