代数的組合せ論の問題

自己共役分割と相異なる奇数部分への分割

自己共役な分割 $\lambda$ のヤング図形を、対角線上の箱 $(i,i)$（$1\le i\le d=d(\lambda )$）を角とするフックに分ける。$i$ 番目のフックの箱の数は、$\lambda ={\lambda }^{\prime }$ より
$$h_i=({\lambda }_i-i)+({\lambda }_i^{\prime }-i)+1=2({\lambda }_i-i)+1$$
で奇数であり、${\lambda }_1-1>{\lambda }_2-2>\cdots$ だから $h_1>h_2>\cdots >h_d$。逆に相異なる奇数の列 $h_1>\cdots >h_d$ から、それらを対称なフックとして入れ子に並べれば自己共役分割が 1 つ決まる。したがって
$$\{\text{n の自己共役分割で }d(\lambda )=d\}⟷\{\text{n の相異なる d 個の奇数部分への分割}\}$$
という全単射がある。母関数で書けば
$$\sum _{\lambda ={\lambda }^{\prime }}{z}^{d(\lambda )}{q}^{|\lambda |}=\prod _{k\ge 1}(1+z{q}^{2k-1})=\sum _{d\ge 0}\frac{z^d{q}^{d^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots (1-q^{2d})}.$$
（第 2 の等式は、$d$ 個の相異なる奇数 $2x_1+1<\cdots <2x_d+1$ について $y_i=x_i-(i-1)$ とおくと、和が $d^2+2\sum y_i$ で $0\le y_1\le \cdots \le y_d$ となることからわかる。）

求める値は
$$\sum _{d}d\cdot a_d,a_d=\#\{30\text{ の相異なる }d\text{ 個の奇数部分への分割}\}=[q^{30}]\frac{q^{d^2}}{(1-q^2)\cdots (1-q^{2d})}.$$

$a_d$ の計算

$d$ 個の奇数の和の偶奇は $d$ の偶奇と一致するので、$30$ に対しては $d$ は偶数。$a_d$ は $(30-d^2)/2$ の分割のうち部分の個数が $d$ 以下のものの個数である。

- $d=2$: $(30-4)/2=13$ の、部分が 2 個以下の分割の個数は $\lfloor 13/2\rfloor +1=7$。（実際 $1+29,3+27,\dots ,13+17$ の 7 通り。）よって $a_2=7$。
- $d=4$: $(30-16)/2=7$ の、部分が 4 個以下の分割は
$$7,6+1,5+2,4+3,5+1+1,4+2+1,3+3+1,3+2+2,4+1+1+1,3+2+1+1,2+2+2+1$$
の 11 個。よって $a_4=11$。
- $d\ge 6$: $d^2\ge 36>30$ なので $a_d=0$。

（$d=0$ は $n=0$ のときだけなので寄与しない。）

答え
$$\sum _{\lambda \in \mathcal{S}}d(\lambda )=2\cdot 7+4\cdot 11=14+44=58.$$
（なお自己共役分割の個数は $7+11=18$ である。）

自己共役な分割は、対角線上のフック長で決まる。$\lambda$ のダーフィー正方形の大きさ $d$ に対し、対角のフック長 $h_i=2({\lambda }_i-i)+1$（$i=1,\dots ,d$）は相異なる正の奇数で、和は $|\lambda |$ になる。逆に、相異なる奇数の組から自己共役分割がただ 1 つ決まる。よって $\mathcal{S}$ は「30 を相異なる奇数の和で表す表し方」と 1 対 1 に対応し、$d(\lambda )$ はその項数 $k$ である。\n\n$k$ 個の奇数の和の偶奇は $k$ の偶奇に等しいので、和が 30 なら $k$ は偶数。また相異なる奇数 $k$ 個の和は少なくとも $1+3+\cdots +(2k-1)=k^2$ なので $k^2\le 30$、すなわち $k\le 5$。よって $k=2,4$。\n\n奇数を $2c_i+1$（$c_1>c_2>\cdots >c_k\ge 0$）と書くと、和は $2\sum c_i+k$。\n\n- $k=2$: $\sum c_i=14$。$c_1>c_2\ge 0$ から $c_2$ を引いて $c_1-1\ge c_2$ とすると、$13$ を高々 2 個の正でない…ではなく、$c_i$ から $(1,0)$ を引いた $c_1-1\ge c_2\ge 0$ の和 $13$ の分割で、部分の数 2 以下のもの。$\lfloor 13/2\rfloor +1=7$ 通り（$a+b=30$ の相異なる奇数対 $b=1,3,\dots ,13$ の 7 通りと一致）。\n- $k=4$: $\sum c_i=13$。$(3,2,1,0)$ を引くと和は $13-6=7$ で、$c_i-(4-i)$ は弱減少。つまり 7 の高々 4 個の部分への分割。$p(7)=15$ のうち、部分が 5 個以上のものは $(3,1,1,1,1),(2,2,1,1,1),(2,1,1,1,1,1),(1^7)$ の 4 通り。よって $15-4=11$ 通り。\n\n${\sum }_{\lambda \in \mathcal{S}}d(\lambda )=2\cdot 7+4\cdot 11=14+44=58$。\n\n検算：$|\mathcal{S}|=7+11=18$。これは 30 を相異なる奇数の和で表す表し方の個数（$q_{odd}(30)=18$）で、母関数 $\prod (1+x^{2j-1})$ の係数として知られる値と整合する。