共役分割・ダーフィー正方形・自己共役分割

分割 $\lambda =({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_{\ell }>0)$ のヤング図形では、第 $i$ 行に ${\lambda }_i$ 個の箱を左詰めに並べます。第 $i$ 行・第 $j$ 列の箱を $(i,j)$ と書くと、$(i,j)$ が図形に入るのは $j\le {\lambda }_i$ のときです。これを左上から右下への対角線で折り返すと、行と列が入れ替わり、新しい図形の第 $j$ 行の長さは「もとの第 $j$ 列の長さ」、つまり ${\lambda }_j^{\prime }=\#\{i:{\lambda }_i\ge j\}$ になります。箱の個数は変わらず、行の長さが上から減っていく形も保たれるので、${\lambda }^{\prime }$ も $n$ の分割です。これが共役分割で、${\lambda }^{\prime }=\lambda$ となる分割を自己共役分割といいます。

ダーフィー正方形は、図形の左上に収まる最大の正方形で、その一辺は $d(\lambda )=\max \{i:{\lambda }_i\ge i\}$ です（箱 $(i,i)$ が図形に入る最大の $i$）。対角線上の箱 $(i,i)$（$1\le i\le d$）ごとに、その箱と、その右にある同じ行の箱（腕）、その下にある同じ列の箱（脚）をまとめた「第 $i$ 対角フック」を考えます。図形の箱 $(i,j)$ は、$i\le j$ なら第 $i$ フックの腕（または角）、$i>j$ なら第 $j$ フックの脚に入るので、ちょうど 1 つのフック、すなわち第 $\min (i,j)$ フックに属します。しかも $m=\min (i,j)$ とすると箱 $(m,m)$ は $(i,j)$ の左上にあるので図形に入り、$m\le d$ です。よって図形はちょうど $d$ 個の対角フックに分かれます。第 $i$ フックの箱の数は $({\lambda }_i-i)+({\lambda }_i^{\prime }-i)+1$ で、自己共役なら ${\lambda }_i^{\prime }={\lambda }_i$ なので $h_i=2{\lambda }_i-2i+1$、つまり奇数です。また $h_i-h_{i+1}=2({\lambda }_i-{\lambda }_{i+1})+2\ge 2$ なので $h_1>h_2>\cdots >h_d$ と真に減ります。こうして、ダーフィー正方形が $d\times d$ の $n$ の自己共役分割から、$n$ を $d$ 個の相異なる奇数の和に表す方法が 1 つ得られます。

逆に、相異なる正の奇数 $h_1>\cdots >h_d$ が与えられたら、${\lambda }_i=\frac{h_i+2i-1}{2}$（$i\le d$）と定め、第 $i$ フックを箱 $(i,i)$ から右と下に同じ長さ $\frac{h_i-1}{2}={\lambda }_i-i$ だけ伸ばして重ねます。${\lambda }_i-{\lambda }_{i+1}=\frac{h_i-h_{i+1}}{2}-1\ge 0$、${\lambda }_d=\frac{h_d-1}{2}+d\ge d$ です。第 $j$ フックの脚は第 $j+1$ 行から第 ${\lambda }_j$ 行まで伸びるので、$i\le d$ の第 $i$ 行には、$j<i$ の各フックの脚が ${\lambda }_j\ge {\lambda }_i\ge i$ より必ず届いて第 $1$〜$i-1$ 列を埋め、そこに第 $i$ フックの角と腕（第 $i$〜${\lambda }_i$ 列）が続くので、第 $i$ 行はすき間なく長さちょうど ${\lambda }_i$ になります。第 $d+1$ 行以降は第 $1$〜$d$ 列にある脚だけからなり、${\lambda }_j\ge r$ となる $j$ が $j=1,\dots ,k$ と先頭から並ぶので、第 $r$ 行は左詰めで長さ $k\le d$、下へ行くほど短くなります。特に第 $d+1$ 行の長さは $d$ 以下で $d+1$ に満たないので、得られたヤング図形のダーフィー正方形はちょうど $d\times d$ です。腕と脚の長さを等しくとったので図形は対角線について対称、すなわち自己共役で、箱の総数は $h_1+\cdots +h_d$ です。2 つの操作は互いに逆なので、全単射になります。