代数的組合せ論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学代数的組合せ論

$n$ を正の整数とする。 $n$ の分割 $λ = (λ_{1} \geq λ_{2} \geq \dots \geq λ_{ℓ} > 0)$ のヤング図形を、正の整数の組の集合
$D (λ) = {(i, j) \in Z^{2} : 1 \leq i \leq ℓ, 1 \leq j \leq λ_{i}}$
と同一視する（ $(i, j)$ を第 $i$ 行・第 $j$ 列の箱とよぶ）。 $λ$ の共役分割 $λ^{'}$ を、 $λ_{j}^{'} = # {i : λ_{i} \geq j}$ $(1 \leq j \leq λ_{1})$ で定める。形 $λ$ の標準ヤング盤とは、全単射 $T : D (λ) \to {1, 2, \dots, n}$ であって、各行で右へ（ $j$ が増える向きに）、各列で下へ（ $i$ が増える向きに）値が真に増加するものをいい、その個数を $f^{λ}$ とする。また $λ$ の内容の和を
$c (λ) = (i, j) \in D (λ) \sum (j - i)$
と定める。

$k$ を正の奇数とするとき、
$λ ⊢ n \sum f^{λ} c (λ)^{k} = 0$
が成り立つことを証明せよ。ただし和は $n$ の分割 $λ$ 全体にわたる。

この問題で使うもの

共役分割・ダーフィー正方形・自己共役分割（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

分割 $λ$ をその共役 $λ^{'}$ に移す操作で和の添字を取り替え、和 $S$ が $- S$ に等しいことを示す。

ヒント 2

ヤング図形を対角線で折り返す写像 $(i, j) \mapsto (j, i)$ が $D (λ)$ を $D (λ^{'})$ に移すこと、およびこの折り返しで $j - i$ の符号が反転することが鍵になる。

ヒント 3

まず $D (λ^{'}) = {(j, i) : (i, j) \in D (λ)}$ と $λ^{''} = λ$ を示し、標準ヤング盤を転置する写像 $T \mapsto T^{'}$ $(T^{'} (j, i) = T (i, j))$ が形 $λ$ と形 $λ^{'}$ の標準ヤング盤の間の全単射であることを確かめる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$λ^{'}$ が $n$ の分割であり、 $D (λ^{'})$ が $D (λ)$ を $(i, j) \mapsto (j, i)$ で写したものに等しいことを、 ${i : λ_{i} \geq j}$ が ${1, \dots, λ_{j}^{'}}$ になることなどから示している（3 点）
$λ^{''} = λ$ を述べ、共役をとる写像が $n$ の分割全体の集合の全単射であることを示している（1 点）
標準ヤング盤の転置が、行・列の増加条件を入れ替えて形 $λ^{'}$ の標準ヤング盤を与える全単射であることを確かめ、 $f^{λ^{'}} = f^{λ}$ を導いている（3 点）
折り返しで各箱の $j - i$ が符号反転することから $c (λ^{'}) = - c (λ)$ を示している（1 点）
和の添字を $λ^{'}$ に取り替え、 $k$ が奇数であることを使って $S = - S$ 、したがって $S = 0$ を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$P (n)$ を $n$ の分割全体の集合とし、 $τ (i, j) = (j, i)$ とおく。

ステップ 1（ $D (λ^{'}) = τ (D (λ))$ であり、 $λ^{'} \in P (n)$ ）. まず $λ^{'}$ が分割であることを確かめる。 $1 \leq j \leq λ_{1}$ に対し $λ_{1} \geq j$ なので $λ_{j}^{'} \geq 1 > 0$ 。また $j < j^{'}$ なら $λ_{i} \geq j^{'}$ をみたす $i$ は $λ_{i} \geq j$ もみたすので $λ_{j}^{'} \geq λ_{j^{'}}^{'}$ 。よって $λ^{'}$ は非増加な正の整数の列である。

次に、 $(i, j) \in Z^{2}$ について $(j, i) \in D (λ^{'}) ⟺ (i, j) \in D (λ)$ を示す。 $λ$ は非増加なので、 $j \geq 1$ に対し ${i : λ_{i} \geq j} = {1, 2, \dots, λ_{j}^{'}}$ である（ $λ_{i} \geq j$ かつ $i_{0} < i$ なら $λ_{i_{0}} \geq λ_{i} \geq j$ だから、この集合は $1$ から始まる区間で、要素数が $λ_{j}^{'}$ ）。したがって
$(j, i) \in D (λ^{'}) ⟺ 1 \leq j \leq λ_{1}, 1 \leq i \leq λ_{j}^{'} ⟺ 1 \leq j, 1 \leq i \leq ℓ, λ_{i} \geq j ⟺ (i, j) \in D (λ) .$
（ $j > λ_{1}$ のときはどの $i$ でも $λ_{i} < j$ なので両辺とも偽。）よって $D (λ^{'}) = τ (D (λ))$ であり、 $τ$ は単射なので $∣ λ^{'} ∣ = # D (λ^{'}) = # D (λ) = n$ 。ゆえに $λ^{'} \in P (n)$ 。

さらに $λ^{''} = λ$ である。実際、上の結果を $λ^{'}$ に適用すると $D (λ^{''}) = τ (D (λ^{'})) = τ (τ (D (λ))) = D (λ)$ で、分割は $D (\cdot)$ から各行の長さとして復元できるからである。よって $λ \mapsto λ^{'}$ は $P (n)$ からそれ自身への全単射（自分自身が逆写像）である。

ステップ 2（ $f^{λ^{'}} = f^{λ}$ ）. 形 $λ$ の標準ヤング盤 $T$ に対し $T^{'} = T \circ τ ∣_{D (λ^{'})} : D (λ^{'}) \to {1, \dots, n}$ 、すなわち $T^{'} (j, i) = T (i, j)$ とおく。ステップ 1 より $τ : D (λ^{'}) \to D (λ)$ は全単射なので $T^{'}$ は全単射である。 $T^{'}$ の第 $j$ 行で右へ進むこと（ $(j, i) \to (j, i + 1)$ ）は、 $T$ の第 $j$ 列で下へ進むこと（ $(i, j) \to (i + 1, j)$ ）に当たり、 $T$ はそこで真に増加するので $T^{'}$ も行に沿って真に増加する。同様に $T^{'}$ の列に沿った増加は $T$ の行に沿った増加から従う。よって $T^{'}$ は形 $λ^{'}$ の標準ヤング盤である。同じ操作を $λ^{'}$ から行うと $λ^{''} = λ$ に戻り、 $(T^{'})^{'} = T$ なので、 $T \mapsto T^{'}$ は形 $λ$ と形 $λ^{'}$ の標準ヤング盤の間の全単射である。したがって $f^{λ^{'}} = f^{λ}$ 。

ステップ 3（ $c (λ^{'}) = - c (λ)$ ）. ステップ 1 より $D (λ^{'})$ の元は $(j, i)$ $((i, j) \in D (λ))$ とちょうど 1 回ずつ書けるので
$c (λ^{'}) = (i, j) \in D (λ) \sum (i - j) = - (i, j) \in D (λ) \sum (j - i) = - c (λ) .$

ステップ 4（結論）. $S = \sum_{λ \in P (n)} f^{λ} c (λ)^{k}$ とおく。 $λ \mapsto λ^{'}$ は $P (n)$ の全単射なので、和の添字を $λ^{'}$ に取り替えてよく、ステップ 2, 3 と $k$ が奇数であること（ $(- x)^{k} = - x^{k}$ ）から
$S = λ \in P (n) \sum f^{λ^{'}} c (λ^{'})^{k} = λ \in P (n) \sum f^{λ} (- c (λ))^{k} = - λ \in P (n) \sum f^{λ} c (λ)^{k} = - S .$
よって $2 S = 0$ 、すなわち $S = 0$ である。以上で、正の奇数 $k$ に対して $\sum_{λ ⊢ n} f^{λ} c (λ)^{k} = 0$ が示された。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる