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測度論・実解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学測度論・実解析

正の整数 $n$ に対し
$a_{n} = n^{3} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} ( 1 - x ) ^{n}}{1 + x} d x$
とおく（積分は区間 $[0, 1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ。

この問題で使うもの

置換と優収束定理による積分の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「置換と優収束定理による積分の極限」を使う。 $(1 - x)^{n}$ の重みは $x = 0$ の近くに幅 $\frac{1}{n}$ で集まるので、 $x = \frac{t}{n}$ と置き換える。

ヒント 2

置換すると $a_{n} = \int_{0}^{n} \frac{t ^{2} ( 1 - t / n ) ^{n}}{1 + t / n} d t$ になる。各点極限は $t^{2} e^{- t}$ で、 $1 - s \leq e^{- s}$ から $(1 - t / n)^{n} \leq e^{- t}$ が優関数づくりに使える。

ヒント 3

$0 \leq \frac{t ^{2} ( 1 - t / n ) ^{n}}{1 + t / n} 1_{[0, n]} (t) \leq t^{2} e^{- t}$ なので優収束定理により極限は $\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{- t} d t$ 。部分積分で計算する。

答えと解説

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2

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解説を読む

1. 重みの集まる場所に合わせて置換する。 $(1 - x)^{n}$ は $n$ が大きいと $x = 0$ の近くだけで大きく、その幅はおよそ $\frac{1}{n}$ である。そこで $x = \frac{t}{n}$ と置くと $d x = \frac{d t}{n}$ 、 $x : 0 \to 1$ のとき $t : 0 \to n$ で
$a_{n} = n^{3} \int_{0}^{n} \frac{\frac{t ^{2}}{n ^{2}} ( 1 - \frac{t}{n} ) ^{n}}{1 + \frac{t}{n}} \cdot \frac{d t}{n} = \int_{0}^{\infty} g_{n} (t) d t, g_{n} (t) = \frac{t ^{2} ( 1 - \frac{t}{n} ) ^{n}}{1 + \frac{t}{n}} 1_{[0, n]} (t) .$

2. 各点極限を求める。 $t \geq 0$ を固定すると、 $n > t$ では $t \in [0, n]$ であり、 $(1 - \frac{t}{n})^{n} \to e^{- t}$ 、 $1 + \frac{t}{n} \to 1$ なので
$n \to \infty lim g_{n} (t) = t^{2} e^{- t} .$

3. $n$ によらない優関数を見つける。 すべての実数 $s$ で $1 - s \leq e^{- s}$ が成り立つ（ $h (s) = e^{- s} - 1 + s$ は $s = 0$ で最小値 $0$ ）。 $0 \leq t \leq n$ では $0 \leq 1 - \frac{t}{n} \leq e^{- t / n}$ なので $(1 - \frac{t}{n})^{n} \leq e^{- t}$ 。また $1 + \frac{t}{n} \geq 1$ 。よって
$0 \leq g_{n} (t) \leq t^{2} e^{- t} (t \geq 0)$
で、右辺は $n$ によらず $[0, \infty)$ 上で可積分である（下で積分が有限になる）。

4. 優収束定理を使う。 2, 3 より優収束定理が使えて
$n \to \infty lim a_{n} = \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{- t} d t .$
部分積分を 2 回行うと
$\int_{0}^{R} t^{2} e^{- t} d t = [- t^{2} e^{- t}]_{0}^{R} + 2 \int_{0}^{R} t e^{- t} d t = - R^{2} e^{- R} + 2 ([- t e^{- t}]_{0}^{R} + \int_{0}^{R} e^{- t} d t) = - R^{2} e^{- R} - 2 R e^{- R} + 2 (1 - e^{- R}) .$
$R \to \infty$ とすると $\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{- t} d t = 2$ 。したがって $n \to \infty lim a_{n} = 2$ 。

別解

$g (x) = \frac{1}{1 + x}$ とおくと $a_{n} = n^{3} \int_{0}^{1} x^{2} (1 - x)^{n} g (x) d x$ 。 $g$ は $[0, 1]$ で連続で $g (0) = 1$ 、 $\frac{1}{2} \leq g \leq 1$ 。

まず $g \equiv 1$ の場合: $\int_{0}^{1} x^{2} (1 - x)^{n} d x = B (3, n + 1) = \frac{2 ! n !}{( n + 3 )!} = \frac{2}{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )}$ 。よって $n^{3} B (3, n + 1) = \frac{2 n ^{3}}{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )} \to 2$ 。

次に $w_{n} (x) = \frac{x ^{2} ( 1 - x ) ^{n}}{B ( 3 , n + 1 )}$ は $[0, 1]$ 上の確率密度。任意の $δ \in (0, 1)$ について $\int_{δ}^{1} x^{2} (1 - x)^{n} d x \leq (1 - δ)^{n}$ であり、 $B (3, n + 1) \sim 2/ n^{3}$ なので $\int_{δ}^{1} w_{n} d x \leq (1 - δ)^{n} \cdot \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )}{2} \to 0$ 。

$g$ は $0$ で連続なので、任意の $ε > 0$ に対し $δ$ を $∣ g (x) - 1∣ < ε$ $(0 \leq x \leq δ)$ となるようにとると
$\int_{0}^{1} w_{n} g d x - 1 \leq ε + \int_{δ}^{1} w_{n} ∣ g - 1∣ d x \leq ε + \frac{1}{2} \int_{δ}^{1} w_{n} d x \to ε .$
$ε$ は任意なので $\int_{0}^{1} w_{n} g d x \to 1$ 。

ゆえに $a_{n} = n^{3} B (3, n + 1) \int_{0}^{1} w_{n} g d x \to 2 \cdot 1 = 2$ 。

検算: $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + \dots$ より $a_{n} = n^{3} (\frac{2}{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )} - O (n^{- 4}))$ で、主要項 $2$ と一致する。

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