測度論・実解析の問題

方針. 数え上げ測度に対するヘルダーの不等式
$$\sum _k|a_k{b}_k|\le (\sum _k|a_k{|}^p{)}^{1/p}(\sum _k|b_k{|}^q{)}^{1/q}(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1)$$
を $p=3$ として使う。共役指数は $\frac{1}{q}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ より $q=\frac{3}{2}$ である。

上からの評価. $b_k=4^{-k}$ とおくと
$$\sum _{k=1}^{\infty }|b_k{|}^{3/2}=\sum _{k=1}^{\infty }(4^{-k}{)}^{3/2}=\sum _{k=1}^{\infty }{8}^{-k}=\frac{1/8}{1-1/8}=\frac{1}{7}.$$
よって $\Vert b{\Vert }_{3/2}={\left(\frac{1}{7}\right)}^{2/3}=7^{-2/3}$。ヘルダーの不等式と $\Vert a{\Vert }_3=1$ から、級数 $S$ は絶対収束し
$$S\le \sum _{k=1}^{\infty }\frac{|a_k|}{4^k}\le \Vert a{\Vert }_3\Vert b{\Vert }_{3/2}=7^{-2/3}.$$

等号成立. ヘルダーの不等式の等号は、$a_k{b}_k\ge 0$ かつ $|a_k{|}^3$ が $|b_k{|}^{3/2}$ に比例するとき、すなわち $a_k=c{b}_k^{q-1}=c(4^{-k}{)}^{1/2}=c{2}^{-k}$（$c>0$）のとき成り立つ。条件から
$$\sum _{k=1}^{\infty }|a_k{|}^3=c^3\sum _{k=1}^{\infty }{8}^{-k}=\frac{c^3}{7}=1⟹c=7^{1/3}.$$
実際 $a_k=7^{1/3}{2}^{-k}$ のとき
$$S=7^{1/3}\sum _{k=1}^{\infty }{2}^{-k}{4}^{-k}=7^{1/3}\sum _{k=1}^{\infty }{8}^{-k}=\frac{7^{1/3}}{7}=7^{-2/3}$$
となり、上界が達成される。

以上より最大値は $7^{-2/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{49}}$ である。

Hölder の不等式（$p=3$, $q=3/2$）より、$S\le \Vert a{\Vert }_3\Vert b{\Vert }_{3/2}$ である。ここで $b_k=4^{-k}$、$\Vert a{\Vert }_3=1$ である。

$\Vert b{\Vert }_{3/2}={\left({\sum }_{k\ge 1}{4}^{-3k/2}\right)}^{2/3}={\left({\sum }_{k\ge 1}{8}^{-k}\right)}^{2/3}={\left(\frac{1/8}{1-1/8}\right)}^{2/3}={\left(\frac{1}{7}\right)}^{2/3}$。

等号は $|a_k{|}^3\propto b_k^{3/2}=8^{-k}$ のときに成り立つ。すなわち $a_k=c{4}^{-k/2}\cdot 2^{-k}\cdots$ ではなく、$a_k=b_k^{1/2}/\Vert b{\Vert }_{3/2}^{1/2}$ とおく。具体的には $a_k^3=7\cdot 8^{-k}$、つまり $a_k=7^{1/3}{2}^{-k}$ である。

このとき $\sum a_k^3=7\cdot \frac{1}{7}=1$ となり条件を満たす。

検算：$S=\sum 7^{1/3}{2}^{-k}{4}^{-k}=7^{1/3}\sum 8^{-k}=7^{1/3}\cdot \frac{1}{7}=7^{-2/3}$。これは上の値と一致する。

最大値は $7^{-2/3}$ である。