フーリエ解析・ラプラス変換の問題

ステップ1: フーリエ変換の計算。
$$\hat{g}(\omega )={\int }_{-1}^1{e}^{-i\omega x}dx=\frac{2\sin \omega }{\omega }(\omega \ne 0),$$
$$\hat{h}(\omega )=\frac{1}{2}\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-(1+i\omega )x}dx+{\int }_{-\infty }^0{e}^{(1-i\omega )x}dx\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+i\omega }+\frac{1}{1-i\omega }\right)=\frac{1}{1+{\omega }^2}.$$
したがって
$$\hat{g}(\omega {)}^2\hat{h}(\omega )=\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}\cdot \frac{1}{1+{\omega }^2}$$
であり、
$$\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}=\frac{1}{4}\hat{g}(\omega {)}^2\hat{h}(\omega ).$$

ステップ2: 畳み込み。 $k=g\ast g$ とおくと、畳み込みのフーリエ変換の性質より $\hat{k}={\hat{g}}^2$ である。$k(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x-y)g(y)dy$ は区間 $[-1,1]$ と $[x-1,x+1]$ の共通部分の長さなので
$$k(x)=\{\begin{array}{ll}2-|x|& (|x|\le 2)\\ 0& (|x|>2)\end{array}.$$

ステップ3: パーセバルの等式。 実数値で 2 乗可積分な関数 $u,v$ に対し
$${\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)v(x)dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega .$$
$u=k$, $v=h$ とすると、$\hat{k}={\hat{g}}^2$, $\hat{h}$ はともに実数値なので
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{g}(\omega {)}^2\hat{h}(\omega )d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }k(x)h(x)dx.$$

ステップ4: 右辺の計算。 被積分関数は偶関数なので
$${\int }_{-\infty }^{\infty }k(x)h(x)dx=2{\int }_0^2(2-x)\cdot \frac{1}{2}{e}^{-x}dx={\int }_0^2(2-x)e^{-x}dx.$$
部分積分より $\int (2-x)e^{-x}dx=-(2-x)e^{-x}-\int e^{-x}dx=(x-1)e^{-x}+C$ なので
$${\int }_0^2(2-x)e^{-x}dx=[(x-1)e^{-x}{]}_0^2=e^{-2}-(-1)=1+e^{-2}.$$

ステップ5: 結論。
$$J=\frac{1}{4}{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{g}(\omega {)}^2\hat{h}(\omega )d\omega =\frac{1}{4}\cdot 2\pi \left(1+e^{-2}\right)=\frac{\pi \left(1+e^{-2}\right)}{2}.$$

（検算: $\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}=\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}-\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}$ と分けると、${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}d\omega =\pi$、${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}d\omega =\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1-\cos 2\omega }{1+{\omega }^2}d\omega =\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}{e}^{-2}$ より同じ値になる。）

フーリエ変換: $\hat{g}(\omega )={\int }_{-1}^1{e}^{-i\omega x}dx=\frac{2\sin \omega }{\omega }$、$\hat{h}(\omega )=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1+{\omega }^2}=\frac{1}{1+{\omega }^2}$。

よって被積分関数は $\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}=\frac{1}{4}\hat{g}(\omega {)}^2\hat{h}(\omega )$、すなわち $J=\frac{1}{4}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{g}}^2\hat{h}d\omega$。

畳み込み定理から ${\hat{g}}^2$ は $G=g\ast g$ のフーリエ変換で、$G(x)=(2-|x|{)}_{+}$（三角形関数）。

$\int \hat{G}(\omega )\hat{h}(\omega )d\omega =\iint G(x)h(y)\left[\int e^{-i\omega (x+y)}d\omega \right]dxdy=2\pi \int G(x)h(-x)dx$（$\int e^{-i\omega s}d\omega =2\pi \delta (s)$）。$h$ は偶関数なので
$=2\pi {\int }_{-2}^2(2-|x|)\frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=2\pi {\int }_0^2(2-x)e^{-x}dx$。

${\int }_0^2(2-x)e^{-x}dx={\left[-(2-x)e^{-x}\right]}_0^2-{\int }_0^2{e}^{-x}dx=2-(1-e^{-2})=1+e^{-2}$。

ゆえに $J=\frac{1}{4}\cdot 2\pi (1+e^{-2})=\frac{\pi }{2}\left(1+e^{-2}\right)$。

検算: ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}d\omega =\pi$ で $\frac{1}{1+{\omega }^2}\le 1$ だから $J<\pi$。値は $\approx \frac{\pi }{2}\times 1.1353\approx 1.783<\pi$ で整合。また $\frac{1}{1+{\omega }^2}=1-\frac{{\omega }^2}{1+{\omega }^2}$ として $J=\pi -\int \frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}d\omega$ とし、${\sin }^2\omega =\frac{1-\cos 2\omega }{2}$ を用いると $\int \frac{1-\cos 2\omega }{2(1+{\omega }^2)}d\omega =\frac{1}{2}(\pi -\pi e^{-2})$ となり、$J=\pi -\frac{\pi }{2}(1-e^{-2})=\frac{\pi }{2}(1+e^{-2})$。一致する。