フーリエ解析・ラプラス変換の問題

1. $g$ と $h$ のフーリエ変換

$g$ は偶関数なので
$$\hat{g}(\omega )=2{\int }_0^2(2-x)\cos \omega xdx(\omega \ne 0).$$
部分積分により
$${\int }_0^2(2-x)\cos \omega xdx={\left[(2-x)\frac{\sin \omega x}{\omega }\right]}_0^2+\frac{1}{\omega }{\int }_0^2\sin \omega xdx=0+\frac{1-\cos 2\omega }{{\omega }^2}=\frac{2{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}.$$
よって $\hat{g}(\omega )=\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$（$\omega =0$ では $\hat{g}(0)=\int gdx=4$ で、連続につながる）。

$h$ も偶関数で
$$\hat{h}(\omega )=\frac{1}{2}\left({\int }_{-\infty }^0{e}^{(1-i\omega )x}dx+{\int }_0^{\infty }{e}^{-(1+i\omega )x}dx\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-i\omega }+\frac{1}{1+i\omega }\right)=\frac{1}{1+{\omega }^2}.$$

2. パーセバルの等式

$g,h$ は実数値で可積分かつ 2 乗可積分であり、$\hat{g},\hat{h}$ も実数値なので
$${\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)h(x)dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega .$$
左辺は、被積分関数が偶関数で $|x|>2$ では $0$ なので
$${\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)h(x)dx=2{\int }_0^2(2-x)\cdot \frac{1}{2}{e}^{-x}dx={\int }_0^2(2-x)e^{-x}dx.$$
ここで
$${\int }_0^{2}2e^{-x}dx=2(1-e^{-2}),{\int }_0^{2}x{e}^{-x}dx={\left[-x{e}^{-x}\right]}_0^2+{\int }_0^2{e}^{-x}dx=-2e^{-2}+1-e^{-2}=1-3e^{-2}$$
より
$${\int }_0^2(2-x)e^{-x}dx=2-2e^{-2}-1+3e^{-2}=1+e^{-2}.$$
したがって
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega =\frac{2\pi }{4}(1+e^{-2})=\frac{\pi }{2}(1+e^{-2}).$$

3. 答え

被積分関数は偶関数なので、$0$ から $\infty$ までの積分はその半分であり
$$I=\frac{\pi }{4}\left(1+e^{-2}\right).$$

検算: $\frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}$ と分解し、${\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}dx=\frac{\pi }{2}$, ${\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{1-\cos 2x}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{4}(1-e^{-2})$ を使っても $I=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{e}^{-2}=\frac{\pi }{4}(1+e^{-2})$ となり一致する。

フーリエ変換: 三角形関数 $g$ は $g={\chi }_{[-1,1]}\ast {\chi }_{[-1,1]}$（$\chi$ は区間の指示関数）で、$\widehat{{\chi }_{[-1,1]}}=\frac{2\sin \omega }{\omega }$ だから $\hat{g}(\omega )=\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$。（直接計算: $\hat{g}=2{\int }_0^2(2-x)\cos \omega xdx=\frac{2(1-\cos 2\omega )}{{\omega }^2}=\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$。）また $\hat{h}(\omega )=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1+{\omega }^2}=\frac{1}{1+{\omega }^2}$。

$g,h$ は実数値で偶関数、$\hat{g},\hat{h}$ も実数値。パーセバルの等式（$\phi =g,\psi =h$）より
$${\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)h(x)dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega =\frac{4}{2\pi }\cdot 2I=\frac{4I}{\pi }.$$
（被積分関数は偶関数なので ${\int }_{-\infty }^{\infty }=2I$。）

左辺: ${\int }_{-2}^2(2-|x|)\frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx={\int }_0^2(2-x)e^{-x}dx={\left[-(2-x)e^{-x}\right]}_0^2-{\int }_0^2{e}^{-x}dx=2-(1-e^{-2})=1+e^{-2}$。

よって $\frac{4I}{\pi }=1+e^{-2}$、$I=\frac{\pi }{4}(1+e^{-2})$。

検算（別解）: $\frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}$ より $I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}dx-{\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}{e}^{-2}\right)=\frac{\pi }{4}(1+e^{-2})$（${\int }_0^{\infty }\frac{\cos 2x}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{2}{e}^{-2}$）。一致。数値は約 $0.892$。