フーリエ解析・ラプラス変換の問題

1. フーリエ変換の計算

$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-1}^1{e}^{-i\omega x}dx=\frac{e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{i\omega }=\frac{2\sin \omega }{\omega }(\omega \ne 0)$$

$$\hat{g}(\omega )={\int }_0^{\infty }{e}^{-(1+i\omega )x}dx+{\int }_{-\infty }^0{e}^{(1-i\omega )x}dx=\frac{1}{1+i\omega }+\frac{1}{1-i\omega }=\frac{2}{1+{\omega }^2}$$

畳み込みの公式より
$$\hat{h}(\omega )=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )=\frac{4\sin \omega }{\omega (1+{\omega }^2)}$$
となる。

2. パーセバルの等式の適用

$u=f$, $v=h$ とする。$f,h$ はともに実数値なので $\overline{h}=h$ である。また $\hat{f},\hat{h}$ も実数値である。等式の左辺は
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{2\sin \omega }{\omega }\cdot \frac{4\sin \omega }{\omega (1+{\omega }^2)}d\omega =8I$$
となる。右辺は、$|x|>1$ で $f(x)=0$ であることから
$$2\pi {\int }_{-1}^{1}h(x)dx=2\pi {\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1{e}^{-|x-y|}dydx$$
となる。ここで $h(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int f(y)g(x-y)dy={\int }_{-1}^1{e}^{-|x-y|}dy$ を用いた。

3. 二重積分の計算

$-1\leqq x\leqq 1$ のとき、内側の積分は
$${\int }_{-1}^x{e}^{-(x-y)}dy+{\int }_x^1{e}^{-(y-x)}dy=\left(1-e^{-(x+1)}\right)+\left(1-e^{-(1-x)}\right)=2-e^{-1}\left(e^x+e^{-x}\right)$$
である。これを $x$ について $-1$ から $1$ まで積分すると
$${\int }_{-1}^1\left\{2-e^{-1}(e^x+e^{-x})\right\}dx=4-e^{-1}\cdot 2\left(e-e^{-1}\right)=2+2e^{-2}$$
となる。

4. 結論

$$8I=2\pi \left(2+2e^{-2}\right)$$
より
$$I=\frac{\pi \left(1+e^{-2}\right)}{2}$$
である。

（検算：$\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}=\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}-\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}$ と分けると、${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}d\omega =\pi$、${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}d\omega =\frac{\pi (1-e^{-2})}{2}$ となる。差は $\frac{\pi (1+e^{-2})}{2}$ で一致する。）

部分分数分解 $\frac{1}{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}=\frac{1}{{\omega }^2}-\frac{1}{1+{\omega }^2}$ を用いると、
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}d\omega -{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}d\omega$$
と書ける。

第1項: $\hat{f}(\omega )=2\sin \omega /\omega$ である。パーセバルの等式を $u=v=f$ に用いると $\int 4{\sin }^2\omega /{\omega }^{2}d\omega =2\pi \cdot 2=4\pi$。よって第1項は $\pi$。

第2項: ${\sin }^2\omega =(1-\cos 2\omega )/2$ より
$$\int \frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}d\omega =\frac{1}{2}\int \frac{d\omega }{1+{\omega }^2}-\frac{1}{2}\int \frac{\cos 2\omega }{1+{\omega }^2}d\omega =\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\pi e^{-2}.$$
ここで $\int \frac{\cos a\omega }{1+{\omega }^2}d\omega =\pi e^{-a}$ を用いた。これは $\hat{g}(\omega )=2/(1+{\omega }^2)$ のフーリエ逆変換、すなわちパーセバルの等式を $g$ と $e^{i2x}g$ などに用いて得られる関係と同じである。

したがって
$$I=\pi -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}{e}^{-2}=\frac{\pi }{2}(1+e^{-2}).$$

検算: 数値では $\pi /2\cdot (1+0.1353)\approx 1.783$。一方 $\pi -1.358\approx 1.783$ で一致する。

なお、$\hat{h}=4\sin \omega /(\omega (1+{\omega }^2))$ であり、$f$ と $g$ の畳み込みの変換を使う方法でも同じ値になる。