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フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

実数全体で定義された関数 $f (x) = e^{- ∣ x ∣}$ , $g (x) = e^{- 2∣ x ∣}$ の畳み込みを
$h (x) = (f * g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y) d y$
で定める。また、可積分な関数 $φ (x)$ のフーリエ変換を
$φ^(ω) = \int_{- \infty}^{\infty} φ (x) e^{- iω x} d x (ω は実数)$
で定める。畳み込み定理とパーセバルの等式
$\int_{- \infty}^{\infty} ∣ φ (x) ∣^{2} d x = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} ∣ φ^(ω) ∣^{2} d ω$
を用いてよい。このとき、積分
$I = \int_{- \infty}^{\infty} h (x)^{2} d x$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

フーリエ変換（説明と入口の問題）
畳み込み（説明と入口の問題）
パーセバルの等式と級数の和（説明と入口の問題）
分数関数の積分（部分分数分解）（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（69 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

畳み込みのフーリエ変換は、それぞれのフーリエ変換の積になる。まず $f^, g^$ を求め、パーセバルの等式で $ω$ についての積分に直そう。

ヒント 2

$e^{- a ∣ x ∣}$ のフーリエ変換は $\frac{2 a}{a ^{2} + ω ^{2}}$ である。 $\frac{1}{( 1 + ω ^{2} ) ( 4 + ω ^{2} )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{1 + ω ^{2}} - \frac{1}{4 + ω ^{2}})$ と分解してから 2 乗するとよい。

ヒント 3

$h^(ω) = \frac{8}{( 1 + ω ^{2} ) ( 4 + ω ^{2} )}$ なので $I = \frac{32}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{( 1 + ω ^{2} ) ^{2} ( 4 + ω ^{2} ) ^{2}}$ 。積分は $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{( c ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} = \frac{π}{2 c ^{3}}$ などを使って計算できる。

答えと解説

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\frac{22}{27}

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解説を読む

1. $f, g$ のフーリエ変換

$a > 0$ に対して $φ_{a} (x) = e^{- a ∣ x ∣}$ とおくと
$φ_{a}^(ω) = \int_{- \infty}^{0} e^{(a - iω) x} d x + \int_{0}^{\infty} e^{- (a + iω) x} d x = \frac{1}{a - iω} + \frac{1}{a + iω} = \frac{2 a}{a ^{2} + ω ^{2}} .$
よって
$f^(ω) = \frac{2}{1 + ω ^{2}}, g^(ω) = \frac{4}{4 + ω ^{2}} .$

2. 畳み込み定理

$f, g$ はともに可積分なので、畳み込み定理 $f * g = f^g^$ により
$h^(ω) = \frac{8}{( 1 + ω ^{2} ) ( 4 + ω ^{2} )} .$

3. パーセバルの等式

$h$ は実数値で、 $h^$ も実数値なので
$I = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{64}{( 1 + ω ^{2} ) ^{2} ( 4 + ω ^{2} ) ^{2}} d ω .$
$u = ω^{2}$ とおいて部分分数分解すると
$\frac{1}{( 1 + u ) ( 4 + u )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u} - \frac{1}{4 + u})$
なので、両辺を 2 乗して
$\frac{1}{( 1 + u ) ^{2} ( 4 + u ) ^{2}} = \frac{1}{9} (\frac{1}{( 1 + u ) ^{2}} + \frac{1}{( 4 + u ) ^{2}} - \frac{2}{( 1 + u ) ( 4 + u )}) = \frac{1}{9} (\frac{1}{( 1 + u ) ^{2}} + \frac{1}{( 4 + u ) ^{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 + u} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 + u}) .$
ここで、 $c > 0$ に対して
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{c ^{2} + ω ^{2}} = \frac{π}{c}, \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{( c ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} = \frac{π}{2 c ^{3}}$
（後者は $ω = c tan θ$ と置換して $\frac{1}{c ^{3}} \int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} θ d θ$ から得られる）を使うと
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{( 1 + ω ^{2} ) ^{2} ( 4 + ω ^{2} ) ^{2}} = \frac{1}{9} (\frac{π}{2} + \frac{π}{16} - \frac{2}{3} π + \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{2}) = \frac{1}{9} (\frac{9 π}{16} - \frac{π}{3}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{11 π}{48} = \frac{11 π}{432} .$
したがって
$I = \frac{64}{2 π} \cdot \frac{11 π}{432} = \frac{352}{432} = \frac{22}{27} .$

4. 検算（直接計算）

$h^(ω) = \frac{8}{3} (\frac{1}{1 + ω ^{2}} - \frac{1}{4 + ω ^{2}}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{1 + ω ^{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4 + ω ^{2}}$ より
$h (x) = \frac{4}{3} e^{- ∣ x ∣} - \frac{2}{3} e^{- 2∣ x ∣}$
（ $h (0) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 3∣ y ∣} d y = \frac{2}{3}$ とも一致する）。よって
$I = 2 \int_{0}^{\infty} (\frac{16}{9} e^{- 2 x} - \frac{16}{9} e^{- 3 x} + \frac{4}{9} e^{- 4 x}) d x = 2 (\frac{8}{9} - \frac{16}{27} + \frac{1}{9}) = 2 \cdot \frac{11}{27} = \frac{22}{27} .$

以上より $I = \frac{22}{27}$ 。

別解

フーリエ変換は $f^(ω) = \frac{2}{1 + ω ^{2}}$ 、 $g^(ω) = \frac{4}{4 + ω ^{2}}$ 。畳み込み定理より $h^= f^g^= \frac{8}{( 1 + ω ^{2} ) ( 4 + ω ^{2} )} = \frac{8}{3} (\frac{1}{1 + ω ^{2}} - \frac{1}{4 + ω ^{2}})$ 。

$\frac{1}{1 + ω ^{2}}$ は $\frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ 、 $\frac{1}{4 + ω ^{2}}$ は $\frac{1}{4} e^{- 2∣ x ∣}$ のフーリエ変換なので、逆変換して
$h (x) = \frac{8}{3} (\frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} - \frac{1}{4} e^{- 2∣ x ∣}) = \frac{4}{3} e^{- ∣ x ∣} - \frac{2}{3} e^{- 2∣ x ∣} .$

$h$ は偶関数なので
$I = 2 \int_{0}^{\infty} (\frac{16}{9} e^{- 2 x} - \frac{16}{9} e^{- 3 x} + \frac{4}{9} e^{- 4 x}) d x = 2 (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4}) = 2 (\frac{24 - 16 + 3}{27}) = \frac{22}{27} .$

検算: $h (0) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ 。畳み込みの定義から $h (0) = \int e^{- ∣ y ∣} e^{- 2∣ y ∣} d y = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ で一致。パーセバルでも $I = \frac{1}{2 π} \int \frac{64}{( 1 + ω ^{2} ) ^{2} ( 4 + ω ^{2} ) ^{2}} d ω$ であり、同じ値 $\frac{22}{27}$ になる（直接計算の結果を採用）。

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