フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$\hat{f}$ は可積分で $f$ は連続なので、逆変換の式で $f(x)$ の値が求まる。

部分分数に分ける
$$\frac{1}{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}=\frac{1}{{\omega }^2}-\frac{1}{1+{\omega }^2}$$
より
$$\hat{f}(\omega )=\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}-\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}(1)$$
それぞれの項がどの関数のフーリエ変換かを調べる。

第 1 項　$h(x)=\{\begin{array}{ll}2-|x|& (|x|\le 2)\\ 0& (|x|>2)\end{array}$ とおく。$h$ は偶関数なので
$$\hat{h}(\omega )=2{\int }_0^2(2-x)\cos \omega xdx=2{\left[(2-x)\frac{\sin \omega x}{\omega }\right]}_0^2+\frac{2}{\omega }{\int }_0^2\sin \omega xdx=\frac{2(1-\cos 2\omega )}{{\omega }^2}=\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$$
よって $\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$ は $\frac{h(x)}{4}$ のフーリエ変換である。

第 2 項　$g(x)=e^{-|x|}$ について
$$\hat{g}(\omega )={\int }_{-\infty }^0{e}^{(1-i\omega )x}dx+{\int }_0^{\infty }{e}^{-(1+i\omega )x}dx=\frac{1}{1-i\omega }+\frac{1}{1+i\omega }=\frac{2}{1+{\omega }^2}$$
なので $\frac{1}{1+{\omega }^2}$ は $\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ のフーリエ変換である。さらに ${\sin }^2\omega =\frac{1}{2}-\frac{e^{2i\omega }+e^{-2i\omega }}{4}$ であり、推移法則（$\phi (x\pm a)$ のフーリエ変換は $e^{\pm ia\omega }\hat{\phi }(\omega )$）より
$$\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}\text{は}\frac{1}{4}{e}^{-|x|}-\frac{1}{8}\left(e^{-|x+2|}+e^{-|x-2|}\right)\text{のフーリエ変換}$$
である。

逆変換　$(1)$ と逆変換の線形性より、すべての実数 $x$ で
$$f(x)=\frac{h(x)}{4}-\frac{1}{4}{e}^{-|x|}+\frac{1}{8}\left(e^{-|x+2|}+e^{-|x-2|}\right)$$
（右辺は連続で、フーリエ変換が $\hat{f}$ に一致するので、連続な $f$ はこれに等しい）。$x=1$ を代入すると $h(1)=1$ より
$$f(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}{e}^{-1}+\frac{1}{8}\left(e^{-3}+e^{-1}\right)=\frac{2-2e^{-1}+e^{-3}+e^{-1}}{8}=\frac{2-e^{-1}+e^{-3}}{8}$$

検算（畳み込み）　$\hat{f}=\frac{1}{8}\hat{h}\hat{g}$ なので $f=\frac{1}{8}(h\ast g)$。
$$f(1)=\frac{1}{8}{\int }_{-2}^2(2-|y|)e^{-|1-y|}dy$$
を $[-2,0],[0,1],[1,2]$ に分けると、それぞれ $e^{-1}+e^{-3}$、$2-3e^{-1}$、$e^{-1}$ となり、和は $2-e^{-1}+e^{-3}$。上の結果と一致する。

また $x=0$ では $f(0)=\frac{1+e^{-2}}{4}$ となり、${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega =\frac{\pi (1+e^{-2})}{2}$ とも整合する。

答え: $f(1)=\frac{2-e^{-1}+e^{-3}}{8}$

部分分数分解より $\frac{1}{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}=\frac{1}{{\omega }^2}-\frac{1}{1+{\omega }^2}$ なので $\hat{f}=\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}-\frac{{\sin }^2\omega }{1+{\omega }^2}$ ($\omega \ne 0$)。

(1) $g=1_{[-1,1]}$ のフーリエ変換は $\hat{g}=\frac{2\sin \omega }{\omega }$。畳み込み $g\ast g(x)=2-|x|$ ($|x|\le 2$) のフーリエ変換は $\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$。よって $\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$ の逆変換は $f_1(x)=\frac{2-|x|}{4}$ ($|x|\le 2$)、$f_1(1)=\frac{1}{4}$。

(2) $\frac{1}{1+{\omega }^2}$ の逆変換は $\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$。${\sin }^2\omega =\frac{1-\cos 2\omega }{2}$ で、$\cos 2\omega h(\omega )$ の逆変換は $\frac{1}{2}(H(x+2)+H(x-2))$ ($H$ は $h$ の逆変換)。よって
$f_2(x)=\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-|x|}}{2}-\frac{e^{-|x+2|}+e^{-|x-2|}}{4}\right]$。
$f_2(1)=\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-1}}{2}-\frac{e^{-3}+e^{-1}}{4}\right]=\frac{e^{-1}-e^{-3}}{8}$。

(3) $f$ は連続で、$\omega =0$ の値は定義の違いのみ(1点)なので逆変換に影響しない。$f(1)=f_1(1)-f_2(1)=\frac{1}{4}-\frac{e^{-1}-e^{-3}}{8}=\frac{2-e^{-1}+e^{-3}}{8}$。

検算: 数値で $\approx (2-0.36788+0.04979)/8\approx 0.2102$。また $\int f=\hat{f}(0)=1$ は $f_1$ の積分が 1、$f_2$ の積分が ${\hat{f}}_2(0)=0$ であることと整合する。