フーリエ解析・ラプラス変換の問題

1. $h(x)$ の計算

$f(x-y)f(y)$ は $|y|\leqq 1$ かつ $|x-y|\leqq 1$ のとき $1$、それ以外で $0$ である。よって $h(x)$ は区間 $[-1,1]$ と $[x-1,x+1]$ の共通部分の長さに等しい。
- $0\leqq x\leqq 2$ のとき共通部分は $[x-1,1]$ で長さ $2-x$
- $-2\leqq x\leqq 0$ のとき共通部分は $[-1,x+1]$ で長さ $2+x$
- $|x|>2$ のとき共通部分はなく $0$

したがって
$$h(x)=\{\begin{array}{ll}2-|x|& (|x|\leqq 2)\\ 0& (|x|>2)\end{array}$$

2. $\hat{h}$ の計算

$\omega \ne 0$ のとき
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-1}^1{e}^{-i\omega x}dx=\frac{e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{i\omega }=\frac{2\sin \omega }{\omega }$$
である。畳み込みのフーリエ変換は積になる（$\widehat{f\ast f}=\hat{f}\hat{f}$）ので
$$\hat{h}(\omega )=\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$$

3. $\hat{g}$ の計算

$g$ は偶関数なので $e^{-i\omega x}=\cos \omega x-i\sin \omega x$ の奇関数部分の積分は $0$ になり
$$\hat{g}(\omega )=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}\cos \omega xdx=2\cdot \frac{2}{4+{\omega }^2}=\frac{4}{{\omega }^2+4}$$
（${\int }_0^{\infty }{e}^{-ax}\cos \omega xdx=\frac{a}{a^2+{\omega }^2}$ を $a=2$ で用いた）。

4. パーセバルの等式の適用

$h$, $g$ はともに実数値で、$\hat{h}$, $\hat{g}$ も実数値である。$u=h$, $v=g$ としてパーセバルの等式を使うと
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}\cdot \frac{4}{{\omega }^2+4}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)g(x)dx$$
すなわち $16I=2\pi {\int }_{-2}^2(2-|x|)e^{-2|x|}dx$。

右辺の積分は被積分関数が偶関数なので
$${\int }_{-2}^2(2-|x|)e^{-2|x|}dx=2{\int }_0^2(2-x)e^{-2x}dx$$
部分積分により
$${\int }_0^2(2-x)e^{-2x}dx={\left[-\frac{(2-x)e^{-2x}}{2}\right]}_0^2-{\int }_0^2\frac{e^{-2x}}{2}dx=1-\frac{1-e^{-4}}{4}=\frac{3+e^{-4}}{4}$$
よって
$$16I=2\pi \cdot 2\cdot \frac{3+e^{-4}}{4}=\pi \left(3+e^{-4}\right)$$
したがって
$$I=\frac{\pi \left(3+e^{-4}\right)}{16}$$

（検算） $\frac{1}{{\omega }^2({\omega }^2+4)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{{\omega }^2}-\frac{1}{{\omega }^2+4}\right)$ と分け、${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}d\omega =\pi$ と ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2+4}d\omega ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1-\cos 2\omega }{2({\omega }^2+4)}d\omega =\frac{\pi }{4}(1-e^{-4})$ を用いると、$I=\frac{1}{4}\left(\pi -\frac{\pi (1-e^{-4})}{4}\right)=\frac{\pi (3+e^{-4})}{16}$ となり一致する。

$f\ast f$ は、$|x|\le 2$ で $h(x)=2-|x|$、$|x|>2$ で $h(x)=0$ となる（三角形の関数）。

フーリエ変換を計算する。
- $\hat{f}(\omega )={\int }_{-1}^1{e}^{-i\omega x}dx=\frac{2\sin \omega }{\omega }$ である。
- 畳み込み定理より $\hat{h}={\hat{f}}^2=\frac{4{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}$ である。
- $\hat{g}(\omega )=\frac{2}{2-i\omega }\cdot \frac{1}{1}$ と直接計算してもよいが、$\int e^{-2|x|}{e}^{-i\omega x}dx=\frac{1}{2+i\omega }+\frac{1}{2-i\omega }=\frac{4}{{\omega }^2+4}$ である。

$\hat{h},\hat{g}$ はともに実数値なので、パーセバルの等式より
$$\int \hat{h}\hat{g}d\omega =\int \frac{16{\sin }^2\omega }{{\omega }^2({\omega }^2+4)}d\omega =16I=2\pi \int h(x)g(x)dx$$
である。

右辺の積分は、$h,g$ が偶関数であることを使って
$$\int hgdx=2{\int }_0^2(2-x)e^{-2x}dx$$
と書ける。ここで
- ${\int }_0^{2}2e^{-2x}dx=1-e^{-4}$
- ${\int }_0^{2}x{e}^{-2x}dx={\left[-\frac{x}{2}{e}^{-2x}-\frac{1}{4}{e}^{-2x}\right]}_0^2=\frac{1}{4}-\frac{5}{4}{e}^{-4}$

より ${\int }_0^2(2-x)e^{-2x}dx=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{e}^{-4}$ である。よって $\int hgdx=\frac{3+e^{-4}}{2}$ となる。

したがって $16I=\pi (3+e^{-4})$ より
$$I=\frac{\pi (3+e^{-4})}{16}$$

検算：$I\approx 0.5896$ である。一方 $\int \frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}d\omega =\pi$ で、$\frac{1}{{\omega }^2+4}\le \frac{1}{4}$ だから $I\le \pi /4\approx 0.785$ であり、これと矛盾しない。