フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$
で定める。$\omega$ を正の実数とする。次の事実は用いてよい。

• $s>0$ のとき $\mathcal{L}[\sin \omega t](s)=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$、$\mathcal{L}[\cos \omega t](s)=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
• $f$ が $[0,\infty )$ で連続かつ有界で $F(s)=\mathcal{L}[f](s)(s>0)$ のとき、$s>0$ で $\mathcal{L}[tf(t)](s)=-F^{\prime }(s)$
• （一意性）$[0,\infty )$ で連続な 2 つの関数のラプラス変換が $s>0$ で一致すれば、2 つの関数は $[0,\infty )$ 上で一致する

$[0,\infty )$ で連続な関数 $g(t)$ が、すべての $s>0$ で
$$\mathcal{L}[g](s)=\frac{1}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$$
を満たすとき、
$$g(t)=\frac{\sin \omega t-\omega t\cos \omega t}{2{\omega }^3}(t\ge 0)$$
であることを証明せよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>-2$ を満たす実数 $s$ に対して
$$F(s)=\frac{2s+7}{(s+2)(s+3)}$$
であるとき、$f(t)$ を求めよ。ただし、$t\geqq 0$ で連続な関数はそのラプラス変換によってただ 1 つに定まることを用いてよい。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>-2$ を満たす実数 $s$ に対して
$$F(s)=\frac{2s+5}{s^2+4s+13}$$
となる連続関数 $f(t)$（$t\geqq 0$）を求めよ。