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フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル証明問題大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

$t \geq 0$ で定義された関数 $f (t)$ のラプラス変換を
$L [f] (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t$
で定める。 $ω$ を正の実数とする。次の事実は用いてよい。

$s > 0$ のとき $L [sin ω t] (s) = \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}$ 、 $L [cos ω t] (s) = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}$
$f$ が $[0, \infty)$ で連続かつ有界で $F (s) = L [f] (s) (s > 0)$ のとき、 $s > 0$ で $L [t f (t)] (s) = - F^{'} (s)$
（一意性） $[0, \infty)$ で連続な 2 つの関数のラプラス変換が $s > 0$ で一致すれば、2 つの関数は $[0, \infty)$ 上で一致する

$[0, \infty)$ で連続な関数 $g (t)$ が、すべての $s > 0$ で
$L [g] (s) = \frac{1}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$
を満たすとき、
$g (t) = \frac{sin ω t - ω t cos ω t}{2 ω ^{3}} (t \geq 0)$
であることを証明せよ。

この問題で使うもの

ラプラス変換と逆変換（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

右辺の関数 $h (t)$ のラプラス変換を計算して $\frac{1}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$ になることを確かめ、最後に一意性を使います。

ヒント 2

$t cos ω t$ のラプラス変換は、 $L [t f (t)] (s) = - F^{'} (s)$ を $f (t) = cos ω t$ に使って求めます。

ヒント 3

$L [t cos ω t] (s) = \frac{s ^{2} - ω ^{2}}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$ です。これと $L [sin ω t]$ を線形性で組み合わせ、通分します。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

右辺の関数 $h$ のラプラス変換を求め、一意性で $g = h$ を結論するという方針を示している（2 点）
$cos ω t$ が連続かつ有界であることを確認して $L [t f] = - F^{'}$ を適用し、 $L [t cos ω t] = \frac{s ^{2} - ω ^{2}}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$ を正しく計算している（3 点）
線形性を使って $L [h]$ を計算し、通分して $\frac{1}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$ になることを示している（3 点）
$g$ と $h$ がともに連続であることを確認し、一意性から $g = h$ を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針. $h (t) = \frac{sin ω t - ω t cos ω t}{2 ω ^{3}}$ とおき、 $L [h] (s) = \frac{1}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} (s > 0)$ を示す。そうすれば $g$ と $h$ はどちらも $[0, \infty)$ で連続でラプラス変換が $s > 0$ で一致するので、一意性により $g = h$ となる。

Step 1: $h$ が連続であり、ラプラス変換が $s > 0$ で定まること. $h$ は連続関数の和・積・定数倍なので $[0, \infty)$ で連続である。また $∣ h (t) ∣ \leq \frac{1 + ω t}{2 ω ^{3}}$ なので、 $s > 0$ のとき $∣ h (t) e^{- s t} ∣ \leq \frac{( 1 + ω t ) e ^{- s t}}{2 ω ^{3}}$ で、右辺は $[0, \infty)$ で積分可能である。よって $L [h] (s)$ は $s > 0$ で定まり、ラプラス変換の線形性（積分の線形性）が使える。

Step 2: $L [t cos ω t]$ の計算. $cos ω t$ は $[0, \infty)$ で連続かつ有界（ $∣ cos ω t ∣ \leq 1$ ）なので、与えられた性質が使える。 $F (s) = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}$ とおくと、商の微分法により
$F^{'} (s) = \frac{( s ^{2} + ω ^{2} ) - s \cdot 2 s}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} = \frac{ω ^{2} - s ^{2}}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$
だから、 $s > 0$ で
$L [t cos ω t] (s) = - F^{'} (s) = \frac{s ^{2} - ω ^{2}}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} .$

Step 3: $L [h]$ の計算. 線形性と与えられた $L [sin ω t]$ 、Step 2 より、 $s > 0$ で
$L [h] (s) = \frac{1}{2 ω ^{3}} (\frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}} - ω \cdot \frac{s ^{2} - ω ^{2}}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}) = \frac{1}{2 ω ^{2}} \cdot \frac{( s ^{2} + ω ^{2} ) - ( s ^{2} - ω ^{2} )}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} = \frac{1}{2 ω ^{2}} \cdot \frac{2 ω ^{2}}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} = \frac{1}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} .$

Step 4: 結論. 仮定より $g$ は $[0, \infty)$ で連続で $L [g] (s) = \frac{1}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} (s > 0)$ 、Step 1, 3 より $h$ も $[0, \infty)$ で連続で同じラプラス変換をもつ。したがって一意性により、 $[0, \infty)$ 上で
$g (t) = h (t) = \frac{sin ω t - ω t cos ω t}{2 ω ^{3}}$
である。 $■$

（補足: この $h$ は、 $\frac{1}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}} = \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}} \cdot \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}} \cdot \frac{1}{ω ^{2}}$ と見て、たたみこみ $\frac{1}{ω ^{2}} \int_{0}^{t} sin ω τ sin ω (t - τ) d τ$ を計算しても得られる。）

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