フーリエ解析・ラプラス変換の問題

手順 1：基本の変換公式を確認する。
定数 $a$ に対して、$s>a$ のとき
$$\mathcal{L}[e^{at}](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}{e}^{at}dt=\underset{R\to \infty }{\lim }{\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]}_0^R=\underset{R\to \infty }{\lim }\frac{1-e^{-(s-a)R}}{s-a}=\frac{1}{s-a}$$
である（$s-a>0$ なので $e^{-(s-a)R}\to 0$）。また、ラプラス変換は積分で定義されているので線形性 $\mathcal{L}[\alpha f+\beta g]=\alpha \mathcal{L}[f]+\beta \mathcal{L}[g]$ が成り立つ。

手順 2：分母を因数分解し、部分分数に分ける。
$s^2+s-2=(s-1)(s+2)$ なので
$$\frac{5s+1}{(s-1)(s+2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}$$
とおく。両辺に $(s-1)(s+2)$ を掛けると $5s+1=A(s+2)+B(s-1)$。
- $s=1$ を代入：$6=3A$ より $A=2$。
- $s=-2$ を代入：$-9=-3B$ より $B=3$。

よって
$$F(s)=\frac{2}{s-1}+\frac{3}{s+2}.$$

手順 3：各項を逆変換する。
手順 1 の公式で $a=1$ とすると $\frac{1}{s-1}=\mathcal{L}[e^t]$（$s>1$）、$a=-2$ とすると $\frac{1}{s+2}=\mathcal{L}[e^{-2t}]$（$s>-2$）。$s>1$ ではどちらも成り立つので、線形性より
$$F(s)=\mathcal{L}[2e^t+3e^{-2t}](s)(s>1).$$
ラプラス変換が一致する連続関数はただ 1 つなので
$$f(t)=2e^t+3e^{-2t}.$$

（確認：$t=0$ で $f(0)=5$。また $\frac{2}{s-1}+\frac{3}{s+2}=\frac{2(s+2)+3(s-1)}{(s-1)(s+2)}=\frac{5s+1}{s^2+s-2}$ となり一致する。）

分母は $s^2+s-2=(s+2)(s-1)$ なので、部分分数分解して
$$\frac{5s+1}{(s-1)(s+2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}$$
とおく。
$A=\frac{5\cdot 1+1}{1+2}=2$、$B=\frac{5(-2)+1}{-2-1}=3$。
確認: $2(s+2)+3(s-1)=5s+1$ で一致する。
$\mathcal{L}[e^{at}](s)=\frac{1}{s-a}$ ($s>a$) より、
$f(t)=2e^t+3e^{-2t}$ のラプラス変換は $\frac{2}{s-1}+\frac{3}{s+2}$ ($s>1$) となり、$F(s)$ に等しい。
検算: $f(0)=5$ で、初期値定理より $sF(s)\to 5$ ($s\to \infty$)。実際 $sF(s)=\frac{5s^2+s}{s^2+s-2}\to 5$ で整合する。
連続関数は一意なので $f(t)=2e^t+3e^{-2t}$。