フーリエ解析・ラプラス変換の問題

1. 部分分数分解

$s^2+2s+5=(s+1{)}^2+4$ は実数の範囲で因数分解できないので
$$\frac{3s^2+8s+13}{(s+1)(s^2+2s+5)}=\frac{A}{s+1}+\frac{Bs+C}{s^2+2s+5}$$
とおく。分母を払うと
$$3s^2+8s+13=A(s^2+2s+5)+(Bs+C)(s+1).$$
$s=-1$ を代入すると $3-8+13=4A$ より $A=2$。
$s^2$ の係数を比べて $3=A+B$ より $B=1$。
定数項を比べて $13=5A+C$ より $C=3$。
（$s$ の係数: $2A+B+C=4+1+3=8$ で一致する。）
よって
$$F(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{s+3}{(s+1{)}^2+4}=\frac{2}{s+1}+\frac{s+1}{(s+1{)}^2+2^2}+\frac{2}{(s+1{)}^2+2^2}.$$

2. 逆ラプラス変換

基本公式
$$\mathcal{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a},\mathcal{L}[\cos \omega t]=\frac{s}{s^2+{\omega }^2},\mathcal{L}[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$
と、移動法則 $\mathcal{L}[e^{at}g(t)](s)=G(s-a)$ を使う。$a=-1$ として
$${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{s+1}{(s+1{)}^2+4}\right]=e^{-t}\cos 2t,{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{2}{(s+1{)}^2+4}\right]=e^{-t}\sin 2t.$$
また ${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{2}{s+1}\right]=2e^{-t}$。

連続関数のラプラス変換は一意に定まる（ラーチの定理）ので、線形性により
$$f(t)=2e^{-t}+e^{-t}\cos 2t+e^{-t}\sin 2t=e^{-t}(2+\cos 2t+\sin 2t).$$

検算: $f(0)=3$ であり、初期値定理 $\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)=\underset{s\to \infty }{\lim }\frac{3s^3+\cdots }{s^3+\cdots }=3$ と一致する。

$s^2+2s+5=(s+1{)}^2+4$。部分分数分解を $F(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{Bs+C}{s^2+2s+5}$ とおく。

$A={\frac{3s^2+8s+13}{s^2+2s+5}|}_{s=-1}=\frac{3-8+13}{1-2+5}=\frac{8}{4}=2$。

$3s^2+8s+13-2(s^2+2s+5)=s^2+4s+3=(s+1)(s+3)$ より $Bs+C=s+3$。したがって
$$F(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{s+3}{(s+1{)}^2+4}=\frac{2}{s+1}+\frac{s+1}{(s+1{)}^2+2^2}+\frac{2}{(s+1{)}^2+2^2}.$$

逆変換（移動則）: ${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+1}\right]=e^{-t}$、${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{s+1}{(s+1{)}^2+4}\right]=e^{-t}\cos 2t$、${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{2}{(s+1{)}^2+4}\right]=e^{-t}\sin 2t$。

$$f(t)=2e^{-t}+e^{-t}\cos 2t+e^{-t}\sin 2t=e^{-t}(2+\cos 2t+\sin 2t).$$

検算: 初期値定理より $f(0)={\lim }_{s\to \infty }sF(s)=3$。解は $f(0)=2+1+0=3$ で一致。また $F(1)$: 元の式は $\frac{3+8+13}{2\cdot 8}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$、分解式は $\frac{2}{2}+\frac{2}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3}{2}$ で一致。